왜 단면과 거울상을 함께 다루는가

04편에서 입체도형의 면·모서리·꼭짓점이라는 용어와 회전·대칭의 기초 개념을 배웠고, 20편에서 그 개념으로 블록의 개수를 세고 투상도를 읽고 큐브를 회전시켜 봤습니다. 이번 편은 그 도구를 두 방향으로 더 깊이 파고듭니다. 하나는 입체를 칼로 자르면 잘린 면이 어떤 평면도형이 되는가(단면도), 다른 하나는 도형을 거울에 비추면 원래와 어떻게 달라지는가(거울상)입니다.

두 주제를 묶는 이유가 있습니다. 실전 문제에서 가장 많이 틀리는 지점이 “이 두 그림이 같은 것을 다르게 그린 것인가, 아니면 서로 다른 것인가”를 판정하는 순간인데, 그 판단 기준이 단면 판정과 거울상 판정에서 똑같이 기준점의 개수와 방향 보존 여부로 귀결되기 때문입니다.

입체도형을 평면으로 자르면 어떤 모양이 나오는가

왜 필요한가

공간지각 유형에는 “이 정육면체를 그림처럼 자르면 잘린 단면은 어떤 모양인가”를 묻는 문제가 반복해서 나옵니다. 매번 새로 그려서 상상하려 하면 시간이 오래 걸리고, 자를 때마다 답이 삼각형·사각형·오각형·육각형으로 제각각이라 감으로 찍으면 틀리기 쉽습니다. 필요한 것은 “몇 개를 지나면 몇 각형이 나오는가”라는 하나의 원리입니다.

쉽게 말하면: 정육면체의 단면(cross-section, 잘린 면)은 자르는 평면이 정육면체의 몇 개의 모서리를 스치고 지나가느냐로 정해집니다. 세 개를 지나면 삼각형, 여섯 개를 지나면 육각형입니다.

정의: 단면이란 무엇인가

단면(斷面, cross-section)은 입체도형을 하나의 평면으로 잘랐을 때, 그 평면과 입체의 겉면이 만나는 자리에 생기는 평면도형입니다. 정육면체는 평평한 면 6개로 둘러싸여 있으므로, 자르는 평면은 이 6개의 면 가운데 몇 개와 만나고, 그 결과 단면의 변의 개수는 잘린 모서리의 개수와 정확히 같습니다. 정육면체의 모서리는 12개뿐이므로 단면은 삼각형(3개)부터 육각형(6개)까지만 가능하고, 칠각형 이상은 나오지 않습니다.

좌표로 확인하는 삼각형 단면 — 꼭짓점 하나를 스치듯 자르기

정육면체의 여덟 꼭짓점에 좌표를 붙여 두면 어떤 모서리가 잘리는지 정확히 계산할 수 있습니다. 한 변의 길이가 1인 정육면체를 다음과 같이 놓습니다.

        H──────────G
       ╱│         ╱│
      ╱ │        ╱ │
     E──────────F  │
     │  │       │  │
     │  D───────│──C
     │ ╱        │ ╱
     │╱         │╱
     A──────────B

꼭짓점 A에서 만나는 세 모서리는 AB, AD, AE입니다. 이 세 모서리의 중점을 지나는 평면으로 자르면 어떤 도형이 나올까요.

계산·적용: 세 점 P, Q, R 사이의 거리를 구해 보면 세 변의 길이가 정말 같은지 확인할 수 있습니다.

같은 방식으로 계산하면 $\overline{QR}$ 과 $\overline{RP}$ 도 모두 $\sqrt{0.5}$ 로 같습니다.

해석: 세 변의 길이가 모두 같으므로 삼각형 PQR은 정삼각형입니다. 꼭짓점 하나에서 만나는 세 모서리를 같은 비율의 지점에서 자르면 항상 정삼각형이 나옵니다. 자르는 위치가 세 모서리에서 서로 다른 비율이면 정삼각형은 아니지만 여전히 삼각형이라는 사실은 변하지 않습니다. 삼각형 단면은 정육면체의 한 꼭짓점 부근을 모서리 3개만 지나가도록 스치듯 잘라낼 때 나옵니다.

사각형 단면 — 왜 항상 평행사변형인가

정육면체를 밑면과 평행하게 자르면 단면은 밑면과 합동인 정사각형입니다. 그런데 평행하지 않고 비스듬히 기울여 잘라도, 네 개의 세로 모서리(AE, BF, CG, DH)를 모두 지나기만 하면 사각형 단면이 나옵니다.

세로 모서리 위의 점을 각각 $z=h_A,\ h_B,\ h_C,\ h_D$ 높이에서 자른다고 하면, 자르는 평면은 하나의 평면 방정식 $z = h_A + a x + b y$ 를 만족해야 합니다. 정육면체에서 A와 B는 x축 방향으로, A와 D는 y축 방향으로 이웃하므로

가 성립합니다. 이 세 식을 정리하면

라는 관계가 항상 성립함을 알 수 있습니다. 자르는 네 점의 높이가 이 관계를 만족한다는 것은, 마주보는 두 변의 길이와 방향이 서로 같다는 뜻이고, 이는 곧 사각형의 두 쌍의 대변이 각각 평행하다는 뜻입니다.

쉽게 말하면: 정육면체는 마주보는 면이 항상 평행합니다. 평면이 그 평행한 두 면을 동시에 자르면, 단면에서도 그 두 면과 만나는 변끼리 서로 평행하게 남습니다. 그래서 정육면체의 사각형 단면은 특별히 기울여 잘라도 반드시 평행사변형이 되고, 기울기가 없으면 그 평행사변형이 정사각형이나 직사각형이 됩니다.

자주 틀리는 점: “비스듬히 잘랐으니 아무 사각형이나 나올 수 있다”고 생각하기 쉽지만, 정육면체의 구조상 사다리꼴(한 쌍의 대변만 평행)은 나오지 않습니다. 사각형 단면은 항상 두 쌍의 대변이 평행한 평행사변형입니다.

오각형 단면 — 세 꼭짓점을 걸치듯 자르는 경우

오각형은 삼각형이나 사각형보다 드물게 나오지만 원리는 같습니다. 평면이 정육면체의 모서리 5개를 지나가면 오각형입니다. 예를 들어 평면 $x + y + 3z = 1.9$ 는 다음 5개의 모서리를 지납니다.

검산 예시. 모서리 BF는 B(1,0,0)에서 F(1,0,1)로 가는 선분이므로 $x=1,\ y=0$ 이고 $z$ 만 0에서 1로 변합니다. 평면식에 대입하면 $1 + 0 + 3z = 1.9$ 이므로 $z = 0.3$ 이 되어 표의 값과 일치합니다.

해석: 이 평면은 꼭짓점 A, B, D 세 개가 있는 영역을 통째로 비스듬히 도려내듯 자릅니다. 세 꼭짓점이 서로 변 하나로 완전히 둘러싸이지 않은 애매한 각도로 잘리기 때문에 삼각형(꼭짓점 하나만 도려낼 때)도 사각형(마주보는 면을 그대로 지날 때)도 아닌 오각형이 남습니다. 실전 문제에서는 오각형의 정확한 좌표보다 변의 개수는 잘린 모서리의 개수와 같다는 원리로 삼각형·사각형·오각형·육각형을 구별하는 것이 핵심입니다.

육각형 단면 — 정육면체의 대각선에 수직으로 자르기

가장 큰 변의 개수를 가진 단면은 육각형입니다. 꼭짓점 A(0,0,0)에서 반대쪽 꼭짓점 G(1,1,1)까지의 대각선에 수직이면서 정육면체의 정중앙(0.5, 0.5, 0.5)을 지나는 평면으로 자르면 나옵니다. 이 평면의 방정식은

입니다(A와 G를 잇는 방향벡터 (1,1,1)이 이 평면의 법선벡터이고, 중심의 좌표합이 1.5이기 때문입니다). 이 평면이 지나는 6개의 모서리 중점은 다음과 같습니다.

계산·적용: ①과 ② 사이의 거리를 계산해 보겠습니다.

나머지 다섯 변도 같은 방식으로 계산하면 모두 $\sqrt{0.5}$ 로 같습니다. 여섯 변의 길이가 모두 같고 여섯 꼭짓점이 한 평면 위에서 고르게 배치되므로 이 단면은 정육각형입니다.

해석: ①과 ②는 정육면체의 오른쪽 면(x=1) 위에서 만나고, ②와 ③은 앞면(y=0) 위에서 만나는 식으로, 여섯 점이 정육면체의 옆면 6개를 한 바퀴 돌며 이어집니다. 대각선에 정확히 수직으로 자를 때만 정육각형이 되고, 조금이라도 기울이면 찌그러진(정육각형이 아닌) 육각형이 됩니다.

원기둥과 원뿔의 단면

정육면체 이외의 입체도형도 자르는 방향에 따라 단면이 달라지는 원리는 같습니다.

자주 틀리는 점: 원기둥을 회전축에 비스듬히 자르면 단면이 “길쭉한 원”이라고 생각해 원이라고 답하는 경우가 많은데, 정확한 명칭은 타원입니다. 원과 타원은 겉보기엔 비슷해 보여도 수학적으로 다른 도형이며, 시험에서는 이 구분을 정확히 물어봅니다. 원뿔을 자를 때도 정점을 지나느냐(삼각형) 지나지 않느냐(타원)를 먼저 확인해야 합니다.

거울상과 상하 반전 구별하기

왜 필요한가

도형·규칙추리와 공간지각 유형에서 “다음 중 원래 도형을 거울에 비춘 모습은 무엇인가”를 묻는 문제가 자주 나옵니다. 여기서 좌우 반전(거울상), 상하 반전, 180도 회전을 서로 다른 조작으로 정확히 구별하지 못하면, 겉보기에 비슷한 보기 네 개 중에서 헷갈려 틀리기 쉽습니다.

쉽게 말하면: 거울상(mirror image)은 도형을 세로로 세운 거울에 비춘 것처럼 좌우만 뒤집은 모습이고, 상하 반전은 가로로 눕힌 거울에 비춘 것처럼 위아래만 뒤집은 모습이며, 180도 회전은 도형을 뒤집지 않고 제자리에서 반 바퀴 돌린 모습입니다. 셋은 서로 다른 조작입니다.

좌표로 보는 세 가지 조작

평면 위의 점 $(x, y)$ 에 세 조작을 각각 적용하면 다음과 같이 좌표가 바뀝니다.

계산·적용: 점 (3, 5)에 세 조작을 각각 적용해 보겠습니다.

해석: 좌우 반전은 $x$ 좌표의 부호만 바꾸고, 상하 반전은 $y$ 좌표의 부호만 바꿉니다. 180도 회전은 두 좌표의 부호를 모두 바꾸는데, 이는 좌우 반전을 한 번 적용한 뒤 이어서 상하 반전을 한 번 더 적용한 것과 정확히 같은 결과입니다. 즉 180도 회전은 두 번의 반전을 합친 것과 좌표상으로 동일합니다.

ASCII로 직접 확인하기

알파벳 F처럼 위아래·좌우 어느 쪽으로도 대칭이 아닌 도형으로 세 조작의 차이를 눈으로 비교해 보겠습니다.

원래 도형입니다.

█████
█····
███··
█····
█····

이것을 좌우 반전(거울상)한 모습입니다. 각 줄의 좌우 순서만 뒤집었습니다.

█████
····█
··███
····█
····█

이것을 상하 반전한 모습입니다. 줄의 위아래 순서만 뒤집었습니다.

█····
█····
███··
█····
█████

이것을 180도 회전한 모습입니다. 줄의 순서도 뒤집고 각 줄 안의 좌우 순서도 뒤집었습니다.

····█
····█
··███
····█
█████

해석: 네 그림이 모두 다릅니다. 좌우 반전과 상하 반전은 서로 다른 결과이고, 180도 회전은 그 둘을 합친 세 번째 결과입니다. 넷 중 어느 것도 서로 같지 않다는 사실이, 이 도형이 어떤 대칭축도 갖지 않는(비대칭인) 도형이기 때문에 생기는 현상입니다.

대칭축이 있는 도형은 다르다

알파벳 A나 정삼각형처럼 세로 대칭축을 가진 도형은 좌우 반전을 해도 원래 모습과 완전히 같습니다. 이런 도형에서는 “거울상이 원래와 다르게 보이는 보기”가 오히려 함정으로 나옵니다. 자주 틀리는 점은, 대칭축이 있는 도형인데도 보기에서 미세하게 다르게 그려 놓고 “이것이 거울상이다”라고 착각하게 만드는 경우입니다. 대칭축 유무를 먼저 확인하는 습관이 필요합니다.

회전과 반전을 혼동하는 함정 유형 — 주사위 문제

왜 이 유형이 어려운가

정육면체 여러 면에 서로 다른 숫자나 무늬가 있는 “전개도를 접었을 때”나 “주사위를 돌렸을 때” 유형에서, 두 그림이 같은 정육면체를 회전시킨 것인지 아니면 실제로는 만들 수 없는 거울상(뒤집은 것)인지 구별하는 문제가 나옵니다. 평면 도형과 달리 입체는 손으로 만지듯 상상하기 어려워서 이 판정이 특히 까다롭습니다.

쉽게 말하면: 평면 도형을 아무리 돌려도 거울에 비친 모습은 만들 수 없듯이, 입체도 아무리 돌려도(회전) 거울에 비친 모습(반전)은 만들 수 없습니다. 입체를 실제로 뒤집는 것은 회전이 아니라 반전입니다.

판정 절차: 한 꼭짓점에서 만나는 세 면을 시계방향으로 읽기

정육면체의 한 꼭짓점에는 항상 세 개의 면이 모입니다. 이 세 면에 적힌 숫자를 정해진 방향(예: 그 꼭짓점을 정면으로 바라볼 때 시계 방향)으로 순서대로 읽으면, 회전만으로 서로 겹칠 수 있는 두 정육면체는 항상 같은 순환 순서를 가집니다.

예제 적용. 큐브 A의 한 꼭짓점에서 보이는 세 면과 숫자가 다음과 같다고 합시다.

시계 방향으로 읽으면 2 → 3 → 1 입니다.

같은 세 숫자 2, 3, 1이 보이는 큐브 B가 있는데, 시계 방향으로 읽으면 순서가 다음과 같습니다.

시계 방향으로 읽으면 2 → 1 → 3 입니다.

계산·적용: 순환 순서 2→3→1을 한 칸씩 돌려 보면 3→1→2, 1→2→3이 나옵니다. 큐브 B의 순서인 2→1→3은 이 세 가지 어디에도 없습니다. 대신 2→3→1을 거꾸로 뒤집은 1→3→2를 돌려 보면 3→2→1, 2→1→3이 나오는데, 여기에 큐브 B의 순서가 정확히 들어 있습니다.

해석: 큐브 B의 순서는 큐브 A의 순서를 뒤집은 것이지 돌린 것이 아닙니다. 즉 큐브 A를 아무리 회전시켜도 큐브 B가 될 수 없고, 큐브 B는 큐브 A를 거울에 비추거나 실제로 뒤집었을 때만 나올 수 있는 모습입니다. 문제에서 “이 전개도를 접으면 나올 수 있는 정육면체는?”이라는 보기 중 하나가 이런 식으로 순서가 뒤집혀 있으면, 그 보기는 정답이 될 수 없는 함정입니다.

자주 틀리는 점: 같은 세 숫자가 같은 세 면에 보인다는 이유만으로 “같은 큐브다”라고 판단하는 실수가 가장 많습니다. 숫자의 종류가 아니라 읽는 순서(회전 방향)가 같아야 같은 큐브입니다.

핵심 정리

• 정육면체 단면의 변의 개수는 잘린 모서리의 개수와 같고, 삼각형부터 육각형까지만 가능하다.
• 사각형 단면은 정육면체의 마주보는 면이 평행하기 때문에 항상 평행사변형이며, 사다리꼴은 나오지 않는다.
• 정육각형 단면은 정육면체의 공간 대각선에 수직이고 중심을 지나는 평면으로 잘랐을 때 나온다.
• 원기둥·원뿔을 회전축에 비스듬히 자르면 원이 아니라 타원이 되고, 원뿔은 정점을 지나면 이등변삼각형이 된다.
• 좌우 반전은 $(x,y)\rightarrow(-x,y)$, 상하 반전은 $(x,y)\rightarrow(x,-y)$, 180도 회전은 $(x,y)\rightarrow(-x,-y)$로, 180도 회전은 두 반전을 합친 것과 같다.
• 대칭축이 없는(비대칭인) 도형에서만 좌우 반전·상하 반전·180도 회전이 서로 다른 모습으로 나타난다.
• 정육면체의 한 꼭짓점에서 만나는 세 면의 숫자를 시계 방향으로 읽은 순환 순서가 같아야 회전만으로 같은 큐브가 될 수 있고, 순서가 뒤집혀 있으면 회전으로 만들 수 없는 거울상이다.

마무리 복습

참고 자료

• Khan Academy - 정육면체의 단면 (동영상) 
• 나무위키 - 정육면체