03편에서 수열(sequence, 순서를 가지고 나열된 수들의 모임)과 일반항(general term, $n$번째 항을 $n$의 식으로 나타낸 것), 부분합(partial sum, 앞에서부터 몇 개 항을 더한 값)의 용어를 이미 정리했다. 이 편에서는 그 용어를 바탕으로 실제 시험에서 나오는 두 종류의 수열 — 등차수열(arithmetic sequence)과 등비수열(geometric sequence) — 의 공식을 유도하고, 직접 대입해서 검산하는 과정까지 전부 다룬다. 독학사 일반수열 문제는 공식을 아는지보다 “공식을 정확히 대입해서 실수 없이 계산하는지”를 확인하는 문제가 많으므로, 이 편의 모든 예제는 계산 과정을 한 줄도 생략하지 않는다.

등차수열의 일반항

쉽게 말하면: 이웃한 항끼리 항상 같은 수만큼 차이나는 수열이 등차수열이다.

등차수열(arithmetic sequence, 이웃한 두 항의 차가 일정한 수열)은 어떤 항에서 그다음 항으로 넘어갈 때 항상 같은 수를 더해서 만들어지는 수열이다. 이때 더해지는 일정한 수를 공차(common difference, 공통으로 더해지는 차이)라 하고 보통 $d$로 쓴다. 첫 번째 항은 첫째항(first term)이라 하고 $a_1$ 또는 $a$로 쓴다.

수열을 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$으로 쓸 때, 등차수열이라는 것은 다음 관계가 항상 성립한다는 뜻이다.

• $a_n$: 수열의 $n$번째 항 ($n$은 자연수, 1, 2, 3, …)
• $a_{n+1}$: $a_n$ 바로 다음 항
• $d$: 공차, 이웃한 항끼리의 차이(양수면 증가, 음수면 감소)

일반항 공식을 유도해 보자. 첫째항 $a_1$에서 시작해 공차 $d$를 계속 더해 나가는 과정을 직접 써보면 규칙이 보인다.

이 패턴을 보면 $a_n$을 구할 때는 첫째항에 공차를 $(n-1)$번 더한 것임을 알 수 있다. $n=2$일 때 1번, $n=3$일 때 2번, $n=4$일 때 3번 더했으니 $n$번째 항에서는 $(n-1)$번 더한다.

• $a_n$: 구하려는 $n$번째 항
• $a_1$: 첫째항
• $n-1$: 첫째항에서 $n$번째 항까지 건너간 칸 수(공차를 더한 횟수)
• $d$: 공차

예시. 첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열의 일반항을 구하고, $n=1,2,3$을 대입해 검산해 보자.

괄호를 풀어서 정리하면 다음과 같다.

검산. $n=1$이면 $a_1 = 4(1)-1 = 3$으로 첫째항과 일치한다. $n=2$이면 $a_2 = 4(2)-1 = 7$이고, 직접 더해 보면 $3+4=7$로 일치한다. $n=3$이면 $a_3 = 4(3)-1=11$이고, $7+4=11$로 역시 일치한다(검산 완료).

등차수열의 부분합

쉽게 말하면: 처음부터 $n$번째 항까지 다 더한 값을 구하는 공식이다.

등차수열의 첫 $n$개 항을 더한 값을 부분합 $S_n$이라 한다. 이 값을 하나하나 더하지 않고 공식으로 구하는 방법이 있다. 가우스의 짝짓기 방법(Gauss’s pairing method)으로 유도해 보자.

같은 합을 거꾸로도 써 보면 다음과 같다.

이 두 식을 위아래로 더하면, 각 쌍 $(a_1+a_n)$, $(a_2+a_{n-1})$, … 은 등차수열의 성질 때문에 전부 같은 값 $a_1+a_n$이 된다(한쪽이 $d$만큼 늘면 다른 쪽이 $d$만큼 줄어서 합이 일정하다). 이런 쌍이 $n$개 생기므로

• $2S_n$: 원래 합을 두 번 더한 것(순서를 뒤집어서 한 번 더 더했으므로)
• $n$: 쌍의 개수(항의 총 개수와 같다)
• $a_1+a_n$: 각 쌍의 합(항상 일정)

양변을 2로 나누면 부분합 공식이 나온다.

여기에 $a_n = a_1+(n-1)d$를 대입하면 첫째항과 공차만으로 표현한 공식도 얻을 수 있다.

• $S_n$: 첫째항부터 $n$번째 항까지의 합
• $a_1$: 첫째항
• $a_n$: 마지막(끝) 항, $n$번째 항
• $n$: 더하는 항의 개수
• $d$: 공차

예시. 위에서 구한 수열 $a_n=4n-1$(첫째항 3, 공차 4)의 첫 5개 항의 합을 구해 보자. 먼저 $a_5$를 구한다.

공식에 $n=5$, $a_1=3$, $a_5=19$를 대입한다.

검산. 실제로 $n=1$부터 $5$까지 항을 직접 나열하면 $3, 7, 11, 15, 19$이다. 이를 직접 더하면 $3+7=10$, $10+11=21$, $21+15=36$, $36+19=55$로 공식으로 구한 값 55와 정확히 일치한다(검산 완료).

등비수열의 일반항

쉽게 말하면: 이웃한 항끼리 항상 같은 수를 곱해서 만들어지는 수열이 등비수열이다.

등비수열(geometric sequence, 이웃한 두 항의 비가 일정한 수열)은 어떤 항에서 그다음 항으로 넘어갈 때 항상 같은 수를 곱해서 만들어진다. 이 일정한 수를 공비(common ratio, 공통으로 곱해지는 비율)라 하고 $r$로 쓴다.

• $a_n$: 수열의 $n$번째 항
• $r$: 공비, 이웃한 항끼리의 비율($|r|>1$이면 항의 크기가 점점 커지고, $0<|r|<1$이면 점점 작아진다)

등차수열과 같은 방식으로 첫째항에서 공비를 곱해 나가는 과정을 써 보자.

$n$번째 항에서는 공비를 $(n-1)$번 곱한 것이므로 일반항 공식은 다음과 같다.

• $a_n$: 구하려는 $n$번째 항
• $a_1$: 첫째항
• $r$: 공비
• $n-1$: 공비를 곱한 횟수

예시. 첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 일반항을 구하고 검산해 보자.

검산. $n=1$이면 $a_1 = 2 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$로 첫째항과 일치한다. $n=2$이면 $a_2 = 2\times 3^1 = 6$이고, 직접 곱해 보면 $2\times3=6$으로 일치한다. $n=3$이면 $a_3 = 2\times3^2=2\times9=18$이고, $6\times3=18$로 역시 일치한다(검산 완료).

등비수열의 부분합

쉽게 말하면: 등비수열도 첫 $n$개 항의 합을 곱셈 구조를 이용해 한 번에 구하는 공식이 있다.

등비수열의 부분합 $S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}$을 유도해 보자. 이번에는 양변에 공비를 곱해서 빼는 방법을 쓴다.

양변에 $r$을 곱한다.

위 식에서 아래 식을 빼면, 중간 항들($a_1r, a_1r^2, \ldots, a_1r^{n-1}$)이 전부 상쇄되고 양 끝만 남는다.

좌변을 $S_n$으로 묶는다.

$r \neq 1$일 때 양변을 $(1-r)$로 나누면 등비수열의 부분합 공식이 나온다.

• $S_n$: 첫째항부터 $n$번째 항까지의 합
• $a_1$: 첫째항
• $r$: 공비($r \neq 1$이어야 이 공식을 쓸 수 있다)
• $n$: 더하는 항의 개수

$r=1$인 경우는 별도로 처리한다. 공비가 1이면 모든 항이 $a_1$로 똑같으므로, $n$개 항을 더하면 단순히 $S_n = na_1$이다. 분모 $(1-r)$가 0이 되어 공식을 쓸 수 없으니, 이 경우를 빠뜨리지 않도록 주의해야 한다.

예시. 위에서 구한 수열 $a_n=2\times3^{n-1}$(첫째항 2, 공비 3)의 첫 4개 항의 합을 구해 보자.

$3^4$을 먼저 계산한다.

대입해서 정리한다.

검산. 첫 4개 항을 직접 나열하면 $2, 6, 18, 54$이다. 직접 더하면 $2+6=8$, $8+18=26$, $26+54=80$으로 공식으로 구한 값 80과 정확히 일치한다(검산 완료).

재귀식에서 일반항 찾기

쉽게 말하면: “다음 항 = 이전 항으로 계산하는 규칙”만 주어졌을 때, 그 규칙을 등차·등비 형태로 바꿔서 일반항을 구하는 방법이다.

시험에는 처음부터 “등차수열이다”라고 말해 주지 않고, 재귀식(recurrence relation, 이전 항으로 다음 항을 정의하는 식)만 던져 주는 문제도 나온다. 이런 문제는 재귀식을 등차 또는 등비 형태로 바꿔서 앞의 공식을 그대로 적용하면 된다.

유형 1 — 차가 일정한 재귀식. $a_1=5$, $a_{n+1}=a_n+3$으로 주어졌다고 하자. $a_{n+1}-a_n=3$이므로 이는 정의 그대로 공차 $d=3$인 등차수열이다. 첫째항 $a_1=5$이므로

정리하면

검산. $n=1$이면 $a_1=3(1)+2=5$로 일치한다. $n=2$이면 $a_2=3(2)+2=8$이고, 재귀식으로 직접 계산하면 $a_2=a_1+3=5+3=8$로 일치한다. $n=3$이면 $a_3=3(3)+2=11$이고, $a_3=a_2+3=8+3=11$로 일치한다(검산 완료).

유형 2 — 비가 일정한 재귀식. $a_1=4$, $a_{n+1}=2a_n$으로 주어졌다고 하자. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=2$이므로 공비 $r=2$인 등비수열이다.

검산. $n=1$이면 $a_1=4\times2^0=4$로 일치한다. $n=2$이면 $a_2=4\times2^1=8$이고, 재귀식으로 계산하면 $a_2=2a_1=2\times4=8$로 일치한다. $n=3$이면 $a_3=4\times2^2=16$이고, $a_3=2a_2=2\times8=16$으로 일치한다(검산 완료).

유형 3 — 상수를 더한 뒤 곱하는 재귀식. 조금 더 복잡한 형태로, $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+1$처럼 곱셈과 덧셈이 섞인 재귀식도 있다. 이런 경우는 양변에 같은 상수 $c$를 더해서 $(a_{n+1}+c) = 2(a_n+c)$ 형태로 만드는 치환(substitution) 기법을 쓴다. $a_{n+1}+c=2a_n+2c$가 되려면 $1=2c-c=c$이어야 하므로 $c=1$로 놓는다. 그러면 $b_n=a_n+1$이라는 새 수열은 $b_{n+1}=2b_n$인 등비수열이 된다. $b_1=a_1+1=1+1=2$이므로

원래 수열로 되돌리면 $a_n=b_n-1$이므로

검산. $n=1$이면 $a_1=2^1-1=1$로 일치한다. $n=2$이면 $a_2=2^2-1=3$이고, 재귀식으로 계산하면 $a_2=2a_1+1=2\times1+1=3$으로 일치한다. $n=3$이면 $a_3=2^3-1=7$이고, $a_3=2a_2+1=2\times3+1=7$로 일치한다(검산 완료). 독학사 시험에서는 유형 1, 2가 주로 나오고 유형 3은 심화 문제로 드물게 나오므로, 유형 1과 2를 재귀식만 보고 바로 알아채는 연습이 가장 중요하다.

자주 틀리는 점

• 공차·공비의 지수 자리를 헷갈린다. 등차수열은 $(n-1)d$를 더하고, 등비수열은 지수가 $(n-1)$이다. $n$번째 항에서는 첫째항에서 딱 $(n-1)$번만 이동했다는 사실을 항상 확인해야 한다.
• 등비수열 부분합에서 $r=1$을 빠뜨린다. 공비가 1이면 분모가 0이 되어 공식을 쓸 수 없으므로 $S_n=na_1$로 따로 계산해야 한다.
• 부분합 공식의 두 형태를 혼동한다. $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$은 마지막 항 $a_n$을 알 때 쓰고, $S_n=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}$은 공차만 알 때 쓴다. 둘 다 같은 값을 주지만 대입 실수가 나오기 쉽다.
• 재귀식만 보고 등차·등비를 성급히 판단한다. $a_{n+1}-a_n$이 상수인지, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$이 상수인지 반드시 직접 계산해서 확인한 뒤 공식을 적용해야 한다.
• 첫째항 대입을 빠뜨리고 검산 없이 넘어간다. 일반항 공식을 구한 뒤 $n=1$을 대입했을 때 첫째항과 일치하는지 확인하지 않으면, 부호나 지수 실수를 놓치기 쉽다.

핵심 정리

• 등차수열 일반항: $a_n=a_1+(n-1)d$, 부분합: $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}$
• 등비수열 일반항: $a_n=a_1r^{n-1}$, 부분합: $S_n=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ ($r\neq1$일 때), $r=1$이면 $S_n=na_1$
• 재귀식은 $a_{n+1}-a_n$이 상수면 등차, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$이 상수면 등비로 판단한다.
• 곱셈·덧셈이 섞인 재귀식은 상수를 더해 새 수열을 만드는 치환으로 등비수열 형태로 바꿀 수 있다.
• 일반항·합 공식을 구했으면 항상 작은 $n$ 값을 대입해 원래 수열·직접 합과 비교하는 검산을 거쳐야 한다.

마무리 복습

참고 자료

• 국가평생교육진흥원 독학학위제 시험안내 
• MathWorld - Arithmetic Series 
• MathWorld - Geometric Series