08편에서 등차수열·등비수열의 부분합(partial sum, 앞에서부터 몇 개 항만 더한 값) 공식을 다뤘다. 그런데 항이 유한 개가 아니라 끝없이 이어진다면 어떻게 될까? 이 편에서는 항을 무한히 더하는 급수(series, 수열의 항들을 계속 더한 것)를 다룬다. 언뜻 보면 무한히 더하면 무조건 무한대로 커질 것 같지만, 실제로는 특정 조건 아래에서 급수가 하나의 유한한 숫자로 “정리”되는 경우가 있다. 독학사 시험에서는 이 판별 조건과 등비급수의 합 계산이 핵심으로 나온다.

무한급수란 무엇인가

쉽게 말하면: 수열의 항을 끝없이 계속 더한 것을 무한급수라 하고, 그 합이 하나의 숫자로 정해지면 “수렴한다”고 한다.

수열 $a_1, a_2, a_3, \ldots$의 모든 항을 차례로 더한 식을 무한급수(infinite series)라 하고 다음과 같이 쓴다.

• $\sum$: 시그마(sigma), “다음에 오는 것을 모두 더하라”는 뜻의 기호
• $n=1$: 더하기 시작하는 항의 번호(아래 첨자)
• $\infty$: 무한대(infinity), 항을 끝없이 더한다는 뜻(위 첨자)
• $a_n$: 더해지는 수열의 $n$번째 항

이 무한한 덧셈을 직접 다룰 수는 없으므로, 부분합을 이용해 우회한다. 첫 $n$개 항까지의 부분합을 $S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n$이라 하자. $n$을 1, 2, 3, …으로 점점 키워 가면서 $S_n$이라는 수열 자체가 어떤 값에 점점 가까워지는지를 관찰한다.

쉽게 말하면: 무한급수의 합은 “부분합들의 수열”이 어디로 다가가는지를 보고 정한다.

만약 $n$이 한없이 커질 때 $S_n$이 어떤 고정된 숫자 $S$에 한없이 가까워지면, 그 무한급수는 $S$로 수렴(converge, 한 값으로 모여든다)한다고 하고 다음처럼 쓴다.

반대로 $S_n$이 특정 값에 다가가지 않고 한없이 커지거나, 값이 이리저리 진동해서 하나로 정해지지 않으면 그 급수는 발산(diverge, 한 값으로 모이지 않는다)한다고 한다.

예시로 감을 잡아 보자. $a_n = \dfrac{1}{2^n}$인 수열, 즉 $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots$을 계속 더해 보자.

부분합이 $0.5, 0.75, 0.875, 0.9375, \ldots$로 점점 1에 가까워지는 것이 보인다. 실제로 이 급수는 정확히 1로 수렴한다(뒤에서 등비급수 공식으로 다시 확인한다). 반면 $a_n=1$(항상 1을 더하는 수열)의 경우 $S_n=n$이 되어 $n$이 커질수록 한없이 커지므로 발산한다.

등비급수의 수렴·발산 판별

쉽게 말하면: 등비수열을 무한히 더한 것이 등비급수이고, 공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 수렴한다.

등비급수(geometric series)는 등비수열 $a_1, a_1r, a_1r^2, \ldots$을 무한히 더한 것이다.

08편에서 구한 등비수열의 부분합 공식을 다시 가져오면 다음과 같다($r\neq1$일 때).

이 식에서 $n$을 한없이 키울 때 무슨 일이 일어나는지는 전적으로 $r^n$이 어떻게 되는지에 달려 있다. 공비의 크기(절댓값)에 따라 세 가지 경우로 나뉜다.

$-1<r<1$일 때는 $r^n$이 0에 한없이 가까워지므로, 부분합 공식에서 $r^n$ 자리에 0을 대입한 것과 같은 값으로 정리된다.

• $\lim_{n\to\infty}$: “리미트, $n$이 한없이 커질 때의 극한값”(10편에서 극한의 정의를 더 자세히 다룬다)
• $a_1$: 첫째항
• $r$: 공비, $-1<r<1$이어야 이 공식을 쓸 수 있다

이렇게 정리한 등비급수의 합 공식은 다음과 같다.

앞에서 본 예시로 검산하자. $a_n=\dfrac{1}{2^n}$은 첫째항 $a_1=\dfrac12$, 공비 $r=\dfrac12$인 등비급수다($-1<\dfrac12<1$이므로 수렴 조건을 만족한다).

앞서 부분합을 직접 더했을 때 $0.9375$까지 1에 점점 가까워지던 관찰과 정확히 일치한다(검산 완료).

예시 — 공비가 음수인 경우. 첫째항 4, 공비 $-\dfrac{1}{3}$인 등비급수의 합을 구해 보자. 공비의 절댓값 $\left|-\dfrac13\right|=\dfrac13$이 1보다 작으므로 수렴한다.

분모를 먼저 정리한다.

대입해서 나눗셈을 완료한다.

검산. 첫 몇 개 항을 직접 나열하면 $4, -\dfrac43, \dfrac49, -\dfrac{4}{27}, \ldots$이다. 부분합을 계산하면 $S_1=4$, $S_2=4-\dfrac43=\dfrac83\approx2.667$, $S_3=\dfrac83+\dfrac49=\dfrac{24}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{28}{9}\approx3.111$, $S_4\approx3.111-0.148\approx2.963$으로 3을 사이에 두고 점점 좁혀 들어가는 모습을 보인다. 공식으로 구한 3과 방향이 일치한다(검산 완료).

발산하는 경우도 확인해 보자. 공비 $r=2$인 등비급수 $1+2+4+8+\cdots$는 $\lvert r\rvert=2\geq1$이므로 발산한다. 실제로 부분합은 $1, 3, 7, 15, 31, \ldots$로 끝없이 커지기만 하고 어떤 값에도 가까워지지 않는다. 이런 경우 등비급수 합 공식 $\dfrac{a_1}{1-r}$을 억지로 대입하면 안 된다 — 공식 자체가 $-1<r<1$일 때만 성립하기 때문이다.

비교를 통한 수렴 직관

쉽게 말하면: 항의 크기가 이미 아는 수렴하는(또는 발산하는) 급수보다 작은지 큰지를 비교해서 수렴 여부를 짐작할 수 있다.

독학사 수준에서는 복잡한 수렴 판정법(비율판정법, 적분판정법 등)까지 요구하지 않지만, 항의 크기를 비교하는 직관은 알아 두는 것이 좋다. 기본 아이디어는 다음과 같다.

• 어떤 급수 $\sum a_n$의 각 항이, 이미 수렴한다고 알고 있는 급수 $\sum b_n$의 각 항보다 항상 작거나 같다면($0\leq a_n\leq b_n$), $\sum a_n$도 수렴한다. “더 작은 것들의 합이 유한하면, 그보다 큰 것도 유한하니 작은 쪽은 당연히 유한하다”는 상식적인 방향이다.
• 반대로 $\sum a_n$의 각 항이 발산한다고 알고 있는 급수 $\sum c_n$의 각 항보다 항상 크거나 같다면($a_n\geq c_n\geq0$), $\sum a_n$도 발산한다.

예시. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n+n}$이 수렴하는지 직관적으로 판단해 보자. 이 급수의 각 항을 이미 수렴을 알고 있는 등비급수 $\displaystyle\sum\frac{1}{2^n}$과 비교한다. 분모에 $n$이 더해졌으므로 분모가 더 커지고, 분모가 커지면 분수 값은 더 작아진다.

$\displaystyle\sum\frac{1}{2^n}$이 위에서 1로 수렴함을 이미 확인했고, $\displaystyle\sum\frac{1}{2^n+n}$의 각 항이 그보다 항상 작으므로, 비교 원리에 의해 $\displaystyle\sum\frac{1}{2^n+n}$도 수렴한다(구체적인 합의 값까지는 이 방법으로 구할 수 없고, “수렴한다”는 사실만 알 수 있다).

독학사 수준의 계산 예제

예제 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$의 값을 구하라.

이 급수는 $n=1$일 때 $\left(\dfrac34\right)^0=1$이 첫째항이 되는 등비급수로, 첫째항 $a_1=1$, 공비 $r=\dfrac34$이다. $\left|\dfrac34\right|<1$이므로 수렴한다.

검산. 첫 4개 항을 직접 더하면 $1+0.75+0.5625+0.421875=2.734375$로 아직 4에는 못 미치지만, 항이 계속 작아지는 양수를 더하는 중이므로 값이 점점 4로 다가가는 추세와 방향이 일치한다(부분합이 항상 증가하면서 4를 넘지 않는다는 성질도 성립한다).

예제 2. 첫째항이 $-2$이고 공비가 $\dfrac12$인 등비급수의 합을 구하라.

검산. 첫 3개 항을 나열하면 $-2, -1, -0.5$이고 부분합은 $S_1=-2$, $S_2=-3$, $S_3=-3.5$로 점점 $-4$에 가까워지는 방향이 맞다(검산 완료).

예제 3(순환소수를 분수로). 등비급수는 순환소수를 분수로 바꾸는 데도 쓰인다. $0.777\ldots = 0.\overline{7}$을 분수로 바꿔 보자. 이 수는 $\dfrac{7}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{7}{1000}+\cdots$로 쓸 수 있으므로, 첫째항 $a_1=\dfrac{7}{10}$, 공비 $r=\dfrac{1}{10}$인 등비급수다.

검산. $\dfrac{7}{9}$를 실제로 나눗셈하면 $7\div9=0.777\ldots$로 순환소수 $0.\overline{7}$과 정확히 일치한다(검산 완료).

자주 틀리는 점

• 공비의 범위를 확인하지 않고 등비급수 합 공식을 쓴다. $\dfrac{a_1}{1-r}$은 $-1<r<1$일 때만 성립한다. $\lvert r\rvert\geq1$이면 급수 자체가 발산하므로 공식을 적용할 수 없다.
• 공비를 잘못 읽는다. $\displaystyle\sum\left(\dfrac34\right)^{n-1}$처럼 지수가 $n-1$인 형태에서 첫째항은 $n=1$을 대입한 값이지, 괄호 안의 수 자체가 아니다. $n=1$일 때 지수가 0이 되어 첫째항이 1이 된다는 점을 놓치기 쉽다.
• 부분합의 수렴과 급수의 수렴을 다른 개념으로 착각한다. 급수의 수렴은 정의 자체가 “부분합의 수열이 어떤 값에 가까워지는가”이므로 둘은 같은 것을 다르게 부르는 말이다.
• 비교 판정의 부등호 방향을 반대로 쓴다. 더 큰 수렴급수와 비교해야 수렴을, 더 작은 발산급수와 비교해야 발산을 결론지을 수 있다. 방향이 반대면 아무것도 증명할 수 없다.
• 공비가 $-1$과 $1$을 포함하는 경계값일 때를 빠뜨린다. $r=1$과 $r=-1$은 모두 발산하는 경우이며(단, $r=-1$은 값이 진동만 하고 무한대로 커지지는 않는다는 차이가 있다), $-1<r<1$처럼 등호가 없는 부등식이라는 점을 확인해야 한다.

핵심 정리

• 무한급수는 부분합 $S_n$의 수열이 어떤 값에 가까워지면 수렴, 그렇지 않으면 발산한다.
• 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_1r^{n-1}$은 $-1<r<1$일 때만 수렴하며, 그 합은 $\dfrac{a_1}{1-r}$이다.
• $r=1$이면 항이 고정된 채 무한히 더해져 발산하고, $\lvert r\rvert\geq1$이면 항의 크기가 0으로 줄지 않아 발산한다.
• 이미 수렴·발산을 아는 급수와 항의 크기를 비교하면, 정확한 합을 몰라도 수렴·발산 여부는 판단할 수 있다.
• 순환소수는 등비급수로 표현해 정확한 분수 값으로 변환할 수 있다.

마무리 복습

참고 자료

• 국가평생교육진흥원 독학학위제 시험안내 
• MathWorld - Geometric Series 
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods