왜 문장을 기호로 바꿔야 하는가

추리 유형의 문제는 대부분 여러 줄의 조건문으로 되어 있습니다. “비가 오면 우산을 챙긴다”, “우산을 챙기지 않았다면 비가 오지 않은 것이다” 같은 문장을 그대로 눈으로만 따라가면 세 번째 조건, 네 번째 조건이 추가될 때마다 앞의 내용을 잊어버리기 쉽습니다.

논리 기호(logical symbol)는 이런 문장을 짧은 부호로 압축해, 종이 위에서 한눈에 비교하고 조작할 수 있게 해 주는 도구입니다. “비가 온다”를 $p$, “우산을 챙긴다”를 $q$라는 문자로 놓으면 첫 문장은 $p \to q$ 한 줄로 줄어듭니다. 문장이 길어질수록, 조건이 많아질수록 기호로 바꾸는 쪽이 압도적으로 빠르고 정확합니다.

쉽게 말하면: 논리 기호는 “긴 문장을 줄여 쓰는 약속”입니다. 약속을 미리 익혀 두면 실제 문제를 풀 때는 그 약속을 적용하기만 하면 됩니다.

이 편에서 익히는 세 가지는 이후 15편(명제와 삼단논법), 16편(벤다이어그램과 집합추리), 17편(조건추리)에서 계속 쓰이는 공통 도구입니다. 여기서는 도구를 만드는 법만 다루고, 그 도구로 실제 문제를 푸는 법은 해당 편에서 다룹니다.

명제란 무엇인가

명제(proposition)는 참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있는 문장입니다. “서울은 대한민국의 수도다”는 참·거짓을 가릴 수 있으므로 명제입니다. 반면 “오늘 날씨가 좋다”는 사람마다 판단 기준이 달라 참·거짓을 하나로 정할 수 없으므로 명제가 아닙니다.

명제를 기호로 다룰 때는 문장 하나를 통째로 $p$, $q$, $r$ 같은 알파벳 문자 하나로 놓습니다. 이렇게 하나의 문자로 치환된 명제를 단순명제라 부르고, 단순명제 여러 개를 논리 기호로 이어 붙인 것을 복합명제라 부릅니다. “비가 오면 우산을 챙긴다”는 “비가 온다”($p$)와 “우산을 챙긴다”($q$)라는 두 단순명제가 $\to$ 로 이어진 복합명제입니다.

논리 기호 넷: ∧, ∨, ¬, →

시험에 나오는 복합명제는 거의 전부 이 네 기호의 조합으로 만들어집니다. 하나씩 뜻을 정확히 잡아 둡니다.

그리고 — 논리곱 ∧

논리곱(conjunction, 기호 $\land$)은 “그리고”, “~와 동시에”에 대응합니다. $p \land q$는 “$p$이고 $q$이다”라고 읽습니다.

쉽게 말하면: 두 조건이 둘 다 참이어야만 전체가 참입니다.

예시: “민수는 국어 시험도 합격했고 수학 시험도 합격했다”는 두 시험 결과가 모두 합격이어야 참이 됩니다. 국어만 합격했다면 이 문장 전체는 거짓입니다.

또는 — 논리합 ∨

논리합(disjunction, 기호 $\lor$)은 “또는”, “~이거나”에 대응합니다. $p \lor q$는 “$p$이거나 $q$이다”라고 읽습니다.

쉽게 말하면: 두 조건 중 하나라도 참이면 전체가 참입니다. 둘 다 참이어도 여전히 참입니다.

자주 틀리는 점: 일상 대화에서 “커피 또는 차를 준다”는 둘 중 하나만 준다는 뜻으로 쓰이지만, 논리학의 $\lor$는 둘 다 받는 경우도 참으로 봅니다. 시험 문제에서 $\lor$가 나오면 항상 이 넓은 의미로 해석해야 합니다.

아니다 — 부정 ¬

부정(negation, 기호 $\lnot$)은 명제의 참·거짓을 뒤집습니다. $\lnot p$는 “$p$가 아니다”라고 읽습니다.

자주 틀리는 점 — 부정의 대상을 잘못 잡는 실수: “모든 학생이 합격했다”의 부정은 “모든 학생이 불합격했다”가 아닙니다. 정확한 부정은 “합격하지 못한 학생이 적어도 한 명 있다”입니다. 이 함정은 뒤의 “모든·어떤·어떤 ~도 아닌” 절에서 다시 정확히 정리합니다.

이면 — 조건 →

조건(conditional, 기호 $\to$)은 “~이면 ~이다”에 대응합니다. $p \to q$는 “$p$이면 $q$이다”라고 읽고, $p$를 전제(가정, antecedent), $q$를 결론(consequent)이라 부릅니다.

가장 헷갈리는 두 줄 — 전제가 거짓인 경우: “비가 오면 우산을 챙긴다”($p \to q$)라는 약속을 했다고 합시다. 비가 오지 않은 날($p$가 거짓)에 우산을 챙기든 챙기지 않든, 애초에 약속이 적용될 상황 자체가 아니므로 이 약속을 어겼다고 말할 수 없습니다. 그래서 전제가 거짓이면 결론이 무엇이든 $p \to q$ 전체는 참으로 처리합니다. 이것을 공허한 참(vacuous truth)이라 부릅니다.

틀린 줄은 딱 하나뿐입니다: $p \to q$가 거짓이 되는 경우는 “전제는 참인데 결론이 거짓”인 두 번째 줄, 딱 한 가지뿐입니다. 약속을 실제로 어긴 상황이 이 경우뿐이기 때문입니다.

동치 표현 — 자주 나오는 변형: $p \to q$는 $\lnot p \lor q$와 논리적으로 완전히 같은 뜻입니다(“$p$가 아니거나 $q$이다”). 두 표를 나란히 놓고 확인해 보면 네 줄 모두 값이 일치합니다. 조건문을 부정하거나 다른 형태로 바꿔야 하는 문제에서 이 동치 관계가 자주 쓰입니다.

집합과 벤다이어그램 그리는 법

집합, 원소, 부분집합

집합(set)은 어떤 기준으로 명확하게 구분되는 대상들의 모임입니다. “우리 반 학생 전체”는 집합이고, 그 안의 “민수”는 그 집합의 원소(element)입니다. 집합 A의 원소가 전부 집합 B에도 속하면, A를 B의 부분집합(subset)이라 하고 $A \subseteq B$로 씁니다.

집합끼리 조합하는 세 가지 기본 연산이 있습니다.

벤다이어그램 그리는 법 — 4단계

벤다이어그램(Venn diagram)은 집합 사이의 관계를 원으로 시각화한 그림입니다. 조건이 두세 개만 넘어가도 머릿속으로 따라가기 어려워지므로, 손으로 직접 그리는 습관이 실전 속도를 크게 좌우합니다.

포함·교차·서로소 — 세 가지 배치:

“모든·어떤·어떤 ~도 아닌” 표현의 논리적 의미

추리 문제에서는 명제가 기호식이 아니라 “모든”, “어떤”, “어떤 ~도 아닌” 같은 자연어로 나옵니다. 이 세 표현이 각각 어떤 집합 관계를 말하는지 정확히 구분하는 것이 이 편의 핵심입니다. 수학에서는 “모든”을 전칭기호(all, 기호 $\forall$)로, “어떤”을 존재기호(exists, 기호 $\exists$)로 줄여 씁니다.

모든 A는 B다 — 전칭긍정

“모든 학생은 성실하다”는 학생 집합이 성실한 사람 집합에 완전히 포함된다는 뜻입니다($\text{학생} \subseteq \text{성실한 사람}$). 벤다이어그램에서는 “학생” 원이 “성실한 사람” 원 안에 통째로 들어갑니다.

정확한 부정 — 함정 지점: “모든 A는 B다”의 부정은 “모든 A는 B가 아니다”가 아니라 “B가 아닌 A가 적어도 하나 있다”, 곧 “어떤 A는 B가 아니다”입니다. “모든 학생이 성실하다”가 거짓이 되려면 성실하지 않은 학생이 딱 한 명만 있어도 충분하기 때문입니다. 전칭 명제를 부정하면 전칭이 특칭으로 바뀐다는 사실을 반드시 기억해야 합니다.

어떤 A는 B다 — 특칭긍정

“어떤 학생은 안경을 쓴다”는 학생 집합과 안경 쓴 사람 집합에 공통으로 속하는 대상이 최소 하나 존재한다는 뜻입니다. 벤다이어그램에서는 두 원이 일부라도 겹치기만 하면 참이 됩니다.

자주 하는 오해: “어떤”이라는 말 때문에 “일부만 그렇고 나머지는 아니다”라고 확대 해석하는 경우가 많습니다. 그러나 논리학의 “어떤”은 최소 하나의 존재만 주장할 뿐, 나머지 학생들이 안경을 쓰는지 안 쓰는지는 아무것도 말해 주지 않습니다. 극단적으로는 학생 전원이 안경을 써도 “어떤 학생은 안경을 쓴다”는 여전히 참입니다.

어떤 A도 B가 아니다 — 전칭부정

“어떤 학생도 지각하지 않는다”는 학생 집합과 지각하는 사람 집합에 공통되는 대상이 단 하나도 없다는 뜻입니다. 벤다이어그램에서는 두 원이 서로소, 즉 전혀 겹치지 않게 그립니다.

쉽게 말하면: “모든 A는 B다”가 A 원을 B 원 안에 넣는 것이라면, “어떤 A도 B가 아니다”는 A 원과 B 원을 완전히 떼어 놓는 것입니다.

세 표현 한눈에 정리

이 표는 16편(벤다이어그램과 집합추리)과 15편(명제와 삼단논법)에서 “역·이·대우”를 판단할 때 그대로 재사용되는 기준이므로, 표현과 원의 배치를 짝지어 감각적으로 익혀 둘 가치가 있습니다.

핵심 정리

• **논리곱 ∧**은 둘 다 참이어야 참, **논리합 ∨**는 하나만 참이어도 참(둘 다 참인 경우도 포함)이다.
• **조건 →**는 전제가 거짓이면 결론과 무관하게 항상 참이 되고(“공허한 참”), 거짓이 되는 경우는 “전제 참, 결론 거짓” 단 한 줄뿐이다. $p \to q$는 $\lnot p \lor q$와 동치다.
• 집합의 세 기본 연산은 교집합(공통 원소), 합집합(전체를 모으되 중복 제거), 여집합(전체에서 뺀 나머지)이다.
• 벤다이어그램은 전체 집합(사각형) → 조건별 원 → 겹치는 자리 → 조건문 반영 순서로 그린다.
• “모든 A는 B다”는 포함 관계, “어떤 A는 B다”는 교차 관계, “어떤 A도 B가 아니다”는 서로소 관계다.
• 전칭 명제(“모든”)를 부정하면 특칭 명제(“어떤 ~가 아니다”)가 되고, 그 반대도 마찬가지다.

마무리 복습

참고 자료

• 나무위키 - 삼단논법 
• 나무위키 - 명제 논리