08편부터 18편까지 개념과 공식을 하나씩 배웠다면, 이 편은 그 공식들을 손이 기억할 때까지 반복하는 자리다. 독학사 일반수학은 이론을 증명하라고 요구하지 않는다. 대신 정해진 계산을 빠르고 정확하게 해내는지를 묻는다. 그런데 실제 채점 결과를 보면 개념을 몰라서 틀리는 경우보다 부호를 빠뜨리거나, 정의역을 안 챙기거나, 마지막 자리에서 계산 실수를 하는 경우가 훨씬 많다. 그래서 이 편의 목표는 새로운 개념이 아니라 정확도다.

이 편은 단원별로 대표 유형을 하나씩 뽑아 전 과정을 풀이하고, 마지막에는 실제로 손으로 확인할 수 있는 체크리스트를 둔다.

연습 흐름

계산을 마치면 반드시 검산 단계로 돌아간다. 검산이 안 맞으면 답을 확정하지 말고 공식 선택부터 다시 짚어야 한다. 아래 각 문제도 이 흐름을 그대로 따른다.

극한 계산 연습

쉽게 말하면: 극한은 분모가 0이 되는 형태(0/0)를 인수분해·유리화·통분으로 없앤 다음 대입한다.

문제 1. 다음 극한값을 구하라.

풀이. $x \to 2$를 그대로 대입하면 분모가 0이 되어 정의되지 않는다($0/0$ 꼴). 이럴 때는 분자를 인수분해해서 분모와 공통인수를 만든다.

• $(x-2)$: 분모와 같은 인수. 약분 대상
• $(x+2)$: 약분 후 남는 부분

여기서 $x \neq 2$라는 조건이 붙는 이유를 짚어야 한다. 원래 함수는 $x=2$에서 정의되지 않는데(분모가 0), 약분한 함수 $x+2$는 $x=2$에서도 값이 있다. 극한은 $x=2$ 자체가 아니라 $x=2$에 한없이 가까워질 때의 값을 묻는 것이므로, 약분 후 함수에 $x=2$를 대입해도 된다.

검산. $x$에 2에 아주 가까운 값 1.999를 넣어 확인한다. $\dfrac{1.999^2 - 4}{1.999 - 2} = \dfrac{-0.003999}{-0.001} = 3.999$로, 4에 매우 가깝다(검산 완료).

문제 2. 다음 극한값을 구하라.

풀이. 분자에 근호(무리식)가 있고, $x \to 0$을 대입하면 $\dfrac{\sqrt{4}-2}{0} = \dfrac{0}{0}$ 꼴이 된다. 이런 경우는 분자를 유리화한다. 분자와 분모에 켤레식 $\sqrt{x+4}+2$를 곱한다.

• 유리화(rationalization, 근호를 없애는 조작): 켤레식을 곱해 분자나 분모의 근호를 없애는 방법

분자의 $(\sqrt{x+4})^2 - 2^2 = (x+4) - 4 = x$가 되므로

검산. $x = 0.001$을 원래 식에 대입한다. $\sqrt{4.001} \approx 2.00025$이므로 $\dfrac{2.00025-2}{0.001} = \dfrac{0.00025}{0.001} = 0.25$. $1/4 = 0.25$와 일치한다(검산 완료).

미분 계산 연습

쉽게 말하면: 미분은 공식(거듭제곱·곱·몫·합성함수 규칙)을 순서대로 적용하는 조립 작업이다.

문제 3. 다음 함수를 미분하라.

풀이. 두 함수의 곱이므로 곱의 미분법(product rule)을 쓴다. $u = (2x+1)^3$, $v = x-3$로 놓으면 $(uv)' = u의 도함수와 v를 곱한 항 + uv'$이다.

• $u'$: 합성함수이므로 연쇄법칙(chain rule)이 필요하다. $u = (2x+1)^3$에서 바깥 함수는 세제곱, 안 함수는 $2x+1$

$v' = 1$이므로

공통인수 $(2x+1)^2$로 묶어 정리한다.

• $6(x-3)+(2x+1) = 6x-18+2x+1 = 8x-17$: 괄호 안 정리 과정

검산. 공식으로 구한 값은 $f'(1) = (2\times1+1)^2(8\times1-17) = 3^2\times(-9) = 9\times(-9) = -81$이다. 이 값을 수치 미분(numerical differentiation, 아주 작은 구간의 평균변화율로 미분계수를 근사하는 방법)으로 검산한다. $f(1) = (2\times1+1)^3(1-3) = 3^3\times(-2) = 27\times(-2) = -54$이고, $f(1.001) = (2\times1.001+1)^3(1.001-3) = (3.002)^3\times(-1.999)$이다. $(3.002)^3 \approx 27.0540$이므로 $f(1.001) \approx 27.0540\times(-1.999) \approx -54.0809$이다.

공식으로 구한 $-81$과 소수점 첫째 자리까지 일치한다(수치 미분은 구간을 완전히 0으로 좁히지 못해 생기는 작은 근사 오차만 남는다. 검산 완료).

적분 계산 연습

쉽게 말하면: 부정적분은 미분의 역연산이므로, 구한 답을 다시 미분해서 원래 피적분함수가 나오는지 확인하면 바로 검산이 된다.

문제 4. 다음 부정적분을 구하라.

풀이. 항별로 거듭제곱 적분 공식 $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n \neq -1$)를 적용한다.

세 결과를 더하고 적분상수 $C$(integration constant, 미분하면 0이 되어 사라지는 임의의 상수)를 붙인다.

검산. 구한 답을 다시 미분해서 원래 피적분함수가 나오는지 확인한다.

원래 문제의 피적분함수와 정확히 일치한다(검산 완료).

문제 5. 다음 정적분을 구하라.

풀이. 먼저 부정적분을 구한다.

정적분은 상한을 대입한 값에서 하한을 대입한 값을 뺀다. 이때 $C$는 빼는 과정에서 상쇄되므로 정적분 계산에서는 생략한다.

• $(3^2-3) = 9-3 = 6$: 상한 $x=3$을 대입한 값
• $(1^2-1) = 1-1 = 0$: 하한 $x=1$을 대입한 값

검산. 그래프로 보면 $y=2x-1$은 $x=1$일 때 $y=1$, $x=3$일 때 $y=5$인 직선이다. $x=1$부터 $x=3$까지 이 직선 아래의 넓이는 사다리꼴 넓이 공식 $\dfrac{(윗변+아랫변)\times높이}{2}$로도 구할 수 있다.

정적분으로 구한 값 6과 정확히 일치한다(검산 완료).

수열 계산 연습

쉽게 말하면: 등차·등비수열은 첫째항과 공차(또는 공비)만 알면 공식에 대입만 하면 되므로, 대입 순서를 틀리지 않는 것이 핵심이다.

문제 6. 첫째항이 5, 공차가 3인 등차수열의 제10항과 첫째항부터 제10항까지의 합을 구하라.

풀이. 등차수열의 일반항 공식은 $a_n = a_1 + (n-1)d$이다.

• $a_1$: 첫째항(5)
• $d$: 공차(3, 이웃한 두 항의 차)
• $n$: 항의 번호

합 공식은 $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$이다.

검산. 처음 세 항과 마지막 세 항을 직접 나열해 확인한다. 수열은 5, 8, 11, 14, …, 32이다. 항이 10개이고 공차가 3이므로 마지막 항은 $5+9\times3=32$로 위 계산과 일치한다. 합은 첫 항과 끝 항을 짝지어 더하는 방식(가우스 방법)으로도 검산할 수 있다. $5+32=37$, 이런 쌍이 5개($10\div2$) 있으므로 $37\times5=185$로 동일하다(검산 완료).

행렬 계산 연습

쉽게 말하면: 역행렬을 구했으면 원래 행렬과 곱해서 단위행렬이 나오는지 확인하는 것이 가장 확실한 검산이다.

문제 7. 행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$의 역행렬을 구하라.

풀이. $2\times2$ 행렬 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$의 역행렬 공식은 다음과 같다.

• $ad-bc$: 행렬식(determinant, 역행렬이 존재하는지 판단하는 값). 0이면 역행렬이 존재하지 않는다

먼저 행렬식을 계산한다.

행렬식이 0이 아니므로 역행렬이 존재한다. 공식에 대입한다.

검산. $AA^{-1}$이 단위행렬 $I$가 되는지 직접 곱해서 확인한다.

각 성분을 하나씩 계산한다.

• $(1,1)$ 성분: $2\times3 + 1\times(-5) = 6-5 = 1$
• $(1,2)$ 성분: $2\times(-1) + 1\times2 = -2+2 = 0$
• $(2,1)$ 성분: $5\times3 + 3\times(-5) = 15-15 = 0$
• $(2,2)$ 성분: $5\times(-1) + 3\times2 = -5+6 = 1$

단위행렬이 정확히 나왔다(검산 완료).

자주 틀리는 점

• 극한 계산 후 약분 조건($x \neq$ 값) 빼먹기. 약분한 뒤 함수는 원래 함수와 정의역이 다르다는 점을 표시하지 않으면 감점 대상이 될 수 있다.
• 연쇄법칙에서 안 함수의 미분을 빼먹는 것. $(2x+1)^3$을 미분할 때 $3(2x+1)^2$까지만 쓰고 안 함수의 미분 $\times 2$를 곱하지 않는 실수가 가장 흔하다.
• 정적분에서 적분상수 $C$를 상한·하한 계산에 남겨두는 것. 정적분은 값이 상쇄되므로 $C$를 쓸 필요가 없는데, 습관적으로 남겨서 계산을 복잡하게 만드는 경우가 있다.
• 등차수열 공식에서 $(n-1)$을 $n$으로 잘못 쓰는 것. 첫째항이 이미 $n=1$일 때의 값이므로, $n$번째 항까지 공차를 더하는 횟수는 $n-1$번이다.
• 역행렬 공식에서 $b$, $c$의 부호를 바꾸지 않는 것. 공식은 대각선 $a$, $d$의 자리를 바꾸고, 반대각선 $b$, $c$에는 음수 부호를 붙인다.

계산 실수 점검 체크리스트

시험 중 답을 적기 전, 아래 항목을 손으로 하나씩 짚어 확인한다.

• 부호: 뺄셈·음수 계수를 옮길 때 부호가 바뀌었는가? 특히 $-(x-3)$처럼 괄호 앞에 마이너스가 있을 때 괄호 안 부호를 전부 뒤집었는가?
• 정의역: 분모가 0이 되는 값, 근호 안이 음수가 되는 값을 제외했는가? 약분한 뒤에도 원래 정의역 조건을 표시했는가?
• 연쇄법칙 누락: 합성함수를 미분할 때 안 함수의 미분을 곱하는 것을 빠뜨리지 않았는가?
• 적분상수: 부정적분에는 $+C$를 붙였는가? 정적분에는 $C$ 없이 상한·하한 값만 뺐는가?
• 등차·등비 지수: $(n-1)$과 $n$, $n$과 $n+1$ 중 어느 것을 써야 하는지 문제의 “몇 번째 항”과 “몇 개의 항”을 구분해서 확인했는가?
• 행렬 곱셈 순서: $AB$와 $BA$는 일반적으로 다르다. 문제에서 요구한 곱셈 순서대로 계산했는가?
• 반올림 자리수: 문제나 보기에서 요구하는 소수점 자리수(예: 소수 둘째 자리)에 맞춰 반올림했는가? 중간 계산에서는 반올림하지 않고 마지막에만 반올림했는가?
• 검산: 적분은 미분으로, 근은 원식 대입으로, 역행렬은 곱해서 단위행렬이 나오는지로 확인했는가?

핵심 정리

• 계산 실수는 개념을 몰라서가 아니라 부호·정의역·연쇄법칙·적분상수 네 곳에서 가장 많이 발생한다.
• 답을 낸 뒤에는 항상 역연산으로 검산한다 — 적분은 미분, 근은 원식 대입, 역행렬은 곱해서 단위행렬 확인.
• 체크리스트를 실전처럼 손으로 짚는 습관을 들이면 아는 문제를 계산 실수로 놓치는 일을 크게 줄일 수 있다.

마무리 복습

참고 자료

• 고등학교 미적분 공식·개념 정리 
• 독학사 출제방향 안내(문항당 시간·난이도 기준)