왜 실수부터 다시 정리하나

06편부터 다항함수·유리함수·지수함수·로그함수를 다루려면, 그 함수들이 “어떤 수 위에서” 정의되는지부터 정확히 알아야 한다. 예를 들어 $\sqrt{x}$는 $x$가 음수이면 실수 범위에서 정의되지 않고, $\log x$도 $x \le 0$이면 정의되지 않는다. 이런 조건을 판단하려면 먼저 수의 종류와 정의역이라는 개념이 몸에 배어 있어야 한다.

쉽게 말하면: 함수는 “입력을 넣으면 출력이 하나 나오는 규칙”이고, 정의역은 “그 규칙에 넣어도 되는 입력들의 범위”다.

실수의 종류: 자연수부터 무리수까지

실수(real number)는 수직선 위에 점으로 나타낼 수 있는 모든 수를 말한다. 실수는 다음과 같이 갈래를 나눌 수 있다.

• 자연수(natural number): 물건을 셀 때 쓰는 가장 기본적인 수. $1, 2, 3, \dots$
• 정수(integer): 자연수에 $0$과 음수를 더한 것. $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
• 유리수(rational number): 두 정수의 비율(분수)로 나타낼 수 있는 수. 정의는 $\dfrac{p}{q}$ 꼴(단, $p, q$는 정수이고 $q \ne 0$)로 쓸 수 있는 모든 수다. $0.75 = \dfrac{3}{4}$처럼 유한소수도, $0.333\dots = \dfrac{1}{3}$처럼 같은 숫자가 반복되는 무한소수(순환소수)도 유리수에 포함된다.
• 무리수(irrational number): 두 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수. 소수로 쓰면 순환하지 않고 끝없이 이어진다. 대표적으로 $\sqrt{2} = 1.41421356\dots$, 원주율 $\pi = 3.14159265\dots$가 있다.

자주 틀리는 점: “소수는 다 무리수”라고 착각하기 쉽지만, $0.5$나 $0.333\dots$처럼 유한하거나 순환하는 소수는 모두 유리수다. 무리수인지 판단하는 기준은 “순환하지 않고 끝없이 이어지는가”이다.

이 분류가 왜 중요한가 하면, 04편의 지수·로그함수와 06편의 무리함수에서 “정의역이 실수 전체인가, 특정 구간으로 제한되는가”를 판단할 때 이 개념이 그대로 쓰이기 때문이다.

좌표축과 그래프 읽는 법

좌표평면(coordinate plane)은 가로축(x축)과 세로축(y축)이 직각으로 만나는 평면이다. 평면 위의 한 점은 순서쌍 $(x, y)$로 나타낸다. 여기서 $x$는 그 점이 가로로 얼마나 이동했는지, $y$는 세로로 얼마나 이동했는지를 뜻한다.

좌표평면은 두 축에 의해 네 구역(사분면, quadrant)으로 나뉜다.

비유: 좌표평면은 건물 안 위치를 “몇 동, 몇 층”으로 나타내는 것과 비슷하다. $x$는 “몇 동”(가로 위치), $y$는 “몇 층”(세로 위치)에 해당한다.

그래프(graph)란 어떤 규칙을 만족하는 점 $(x, y)$를 좌표평면 위에 모두 찍어 놓은 그림이다. 예를 들어 $y = x$의 그래프는 $x$와 $y$ 값이 항상 같은 점들, 즉 $(0,0), (1,1), (2,2), (-1,-1)$ 등을 이은 직선이다.

그래프를 읽을 때 가장 먼저 확인해야 할 세 가지는 다음과 같다.

1. 어느 $x$ 값에서 그래프가 존재하는가 (정의역과 연결됨)
2. 그래프가 $x$축을 지나는 지점(x절편)과 $y$축을 지나는 지점(y절편)은 어디인가
3. $x$가 커질 때 그래프가 올라가는가(증가), 내려가는가(감소)

함수란 무엇인가

함수(function)는 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 원소를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙이다. 기호로는 $f: X \to Y$ 또는 $y = f(x)$로 쓴다.

• 정의역(domain): 함수에 넣을 수 있는 입력값 전체의 집합. 위 정의에서 $X$에 해당한다.
• 공역(codomain): 출력이 나올 수 있는 후보 집합 전체. 위 정의에서 $Y$에 해당한다.
• 치역(range): 실제로 출력으로 나오는 값들만 모은 집합. 공역의 부분집합이다.

쉽게 말하면: 정의역은 “넣을 수 있는 재료 목록”, 공역은 “나올 수 있다고 미리 정해 둔 그릇 크기”, 치역은 “실제로 그릇에 담긴 결과물”이라고 생각하면 된다.

함수가 되려면: “정확히 하나씩”이 핵심

함수의 정의에서 가장 중요한 조건은 “정의역의 각 원소에 오직 하나의 출력만 대응한다”는 것이다. 하나의 입력에 출력이 둘 이상 나오면 함수가 아니다.

예시: $X = \{1, 2, 3\}$에서 $Y = \{4, 5, 6, 7\}$로 가는 대응을 생각해 보자.

• 대응 A: $1 \to 4$, $2 \to 5$, $3 \to 6$ — 각 입력에 출력이 정확히 하나씩이므로 함수다.
• 대응 B: $1 \to 4$, $1 \to 5$, $2 \to 6$, $3 \to 7$ — 입력 $1$에 출력이 $4$와 $5$ 두 개 대응하므로 함수가 아니다.

이를 그래프로 확인하는 방법이 수직선 판정법(vertical line test)이다. 그래프 위 어떤 $x$ 값에서 수직으로 선을 그었을 때, 그 선이 그래프와 두 점 이상에서 만나면 그 $x$에 출력이 둘 이상 있다는 뜻이므로 함수가 아니다. 예를 들어 원 $x^2 + y^2 = 1$의 그래프는 $x=0$에서 수직선을 그으면 $y=1$과 $y=-1$ 두 점을 지나므로, 이 원은 $y$를 $x$의 함수로 나타낸 것이 아니다.

일대일함수와 전단사: 대응의 성질 구분하기

함수 중에서도 대응 방식에 따라 몇 가지 이름이 붙는다. 이 개념은 06편의 역함수, 17–18편의 역행렬 존재 조건과 바로 연결되므로 직관을 잘 잡아 두어야 한다.

• 일대일함수(injective, 단사함수): 서로 다른 입력은 항상 서로 다른 출력으로 간다. 즉 $x_1 \ne x_2$이면 반드시 $f(x_1) \ne f(x_2)$다. 바꿔 말하면, 하나의 출력값에 대응하는 입력이 최대 하나뿐이다.
• 전사함수(surjective, 위로의 함수): 공역의 모든 원소가 빠짐없이 치역에 포함된다. 즉 치역과 공역이 완전히 같다.
• 전단사함수(bijective, 일대일대응): 일대일함수이면서 동시에 전사함수인 경우. 입력과 출력이 정확히 짝을 이루어, 출력에서 입력으로 거꾸로 되짚어 갈 수 있다.

비유: 반 학생들에게 사물함을 배정하는 상황을 생각해 보자. 일대일함수는 “한 사물함에 학생이 두 명 배정되는 일이 없다”는 뜻이고, 전사함수는 “빈 사물함이 하나도 남지 않는다”는 뜻이다. 두 조건을 모두 만족하면(전단사) 학생 수와 사물함 수가 정확히 같고, 학생과 사물함이 완벽하게 하나씩 짝지어진다.

예시로 확인하기: $f: \{1,2,3\} \to \{4,5,6\}$, $f(1)=4, f(2)=5, f(3)=6$일 때, 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가고(일대일), 공역 $\{4,5,6\}$의 원소가 빠짐없이 치역에 나타나므로(전사) 이 함수는 전단사함수다.

반면 $g: \{1,2,3\} \to \{4,5\}$, $g(1)=4, g(2)=4, g(3)=5$는 입력 $1$과 $2$가 같은 출력 $4$로 가므로 일대일함수가 아니다.

자주 틀리는 점: “치역과 공역이 다르면 함수가 아니다”라고 오해하기 쉽지만, 치역이 공역의 부분집합이기만 하면 함수의 정의 자체는 만족한다. 치역과 공역이 다르면 단지 전사함수가 아닐 뿐이지, 함수가 아닌 것은 아니다.

이 세 가지 성질은 06편에서 역함수가 존재하기 위한 조건(“전단사함수여야 역함수가 존재한다”)으로, 그리고 18편에서 역행렬이 존재하기 위한 직관(“행렬이 나타내는 대응이 전단사인가”)으로 다시 등장한다. 여기서는 계산 없이 “대응 방식을 구분하는 눈”만 만들어 둔다.

핵심 정리

• 실수는 유리수(정수 포함)와 무리수로 나뉜다. 순환소수는 유리수, 순환하지 않는 무한소수는 무리수다.
• 좌표평면의 점은 $(x, y)$로 나타내고, 그래프는 규칙을 만족하는 점들의 모임이다.
• 함수는 정의역의 각 원소에 출력을 정확히 하나씩 대응시키는 규칙이며, 수직선 판정법으로 함수 여부를 확인할 수 있다.
• 정의역은 입력 전체, 공역은 출력 후보 전체, 치역은 실제 출력값 전체를 뜻한다.
• 일대일함수는 “다른 입력 → 다른 출력”, 전사함수는 “치역 = 공역”, 전단사함수는 둘 다 만족하는 경우다.

마무리 복습

참고 자료

• 국가평생교육진흥원 독학학위제 
• Wolfram MathWorld — Function