왜 적분이 필요한가: 미분의 반대 방향

13~14편에서는 함수가 주어졌을 때 그 변화율(미분계수)을 구하는 방법을 배웠다. 이번 편부터는 거꾸로 간다. 변화율이나 넓이가 주어졌을 때, 원래 함수나 총량을 복원하는 도구가 적분(integral)이다. 적분에는 두 얼굴이 있다. 하나는 정적분(definite integral) — 그래프와 $x$축 사이의 넓이를 계산하는 도구다. 다른 하나는 부정적분(indefinite integral) — 미분해서 원래 함수가 나오게 하는 원시함수를 찾는 도구다. 이 둘이 서로 다른 이야기처럼 보이지만, 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)가 이 둘을 정확히 연결해준다는 것이 이번 편의 핵심이다.

정적분의 정의: 넓이와 합의 극한

쉽게 말하면: 곡선 아래 넓이를 정확히 구하려면, 그 아래를 아주 얇은 직사각형 여러 개로 잘라 넓이를 더한 뒤, 직사각형을 무한히 얇게 만들어 극한을 취한다.

문제 상황

$f(x) = x^2$의 그래프와 $x$축, 그리고 $x=0$부터 $x=2$까지의 구간으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하고 싶다고 하자. 이 영역은 직사각형이나 삼각형이 아니라 곡선으로 휘어져 있어서, 초등적인 넓이 공식(가로×세로, $\frac12\times$밑변$\times$높이)을 바로 쓸 수 없다.

리만 합(Riemann sum)으로 근사하기

구간 $[0, 2]$를 폭이 같은 $n$개의 작은 구간으로 나누고, 각 작은 구간 위에 높이가 $f(x)$인 직사각형을 세운 뒤 그 넓이를 모두 더하면 전체 넓이를 근사할 수 있다. $n=4$로 나누어 직접 계산해보자. 구간 폭은 $\Delta x = \dfrac{2-0}{4} = 0.5$이고, 각 작은 구간의 오른쪽 끝점을 높이로 쓰면 $x = 0.5, 1, 1.5, 2$에서 $f(x) = 0.25, 1, 2.25, 4$다.

이 값 $3.75$는 실제 넓이보다 크게 나온다. $f(x)=x^2$이 증가하는 함수라서 각 조각의 오른쪽 끝점 높이를 쓰면 실제 곡선보다 더 높은 직사각형을 세우게 되기 때문이다. $n$을 $4, 40, 400, \dots$처럼 점점 늘려 직사각형을 더 잘게 자르면, 이 초과분은 점점 줄어들고 근사 넓이는 어떤 값으로 수렴한다.

정적분의 정의

이렇게 $n \to \infty$(구간의 개수를 한없이 늘림)로 보낼 때 리만 합이 수렴하는 값을 정적분이라 하고, 다음과 같이 표기한다.

• $\int$: 인테그럴(integral) 기호. 합을 뜻하는 알파벳 S를 길게 늘인 모양으로, “잘게 쪼개 다 더하라”는 뜻이다.
• $a$, $b$: 적분구간의 아래끝과 위끝(하한과 상한)
• $f(x)$: 피적분함수(적분되는 대상 함수)
• $dx$: $x$의 아주 작은 변화량(직사각형의 폭이 $0$에 한없이 가까워진 것)
• $\sum$: 시그마, 모두 더하라는 기호
• $\Delta x$: 각 작은 구간의 폭

이 정의에 따르면 $\int_0^2 x^2\,dx$는 $x^2$의 그래프와 $x$축, $x=0$과 $x=2$로 둘러싸인 영역의 정확한 넓이다. 뒤에서 기본 적분 공식으로 이 값을 직접 계산하면 $\dfrac{8}{3} \approx 2.667$이 나오는데, 앞서 $n=4$로 구한 근사값 $3.75$보다 작다는 것도 “오른쪽 끝점을 쓰면 과대 추정된다”는 설명과 들어맞는다.

부정적분과 원시함수

쉽게 말하면: 미분해서 $f(x)$가 나오는 함수를 거꾸로 찾는 것이 부정적분이다.

정의

어떤 함수 $F(x)$를 미분했을 때 $f(x)$가 나온다면, 즉 $F'(x) = f(x)$라면, $F(x)$를 $f(x)$의 원시함수(antiderivative) 또는 부정적분이라 부른다. 표기는 다음과 같다.

• $C$: 적분상수(constant of integration). 상수를 미분하면 $0$이 되므로, $F(x)$에 어떤 상수를 더해도 미분하면 똑같이 $f(x)$가 나온다. 그래서 원시함수는 하나가 아니라 무한히 많고, 그 전체를 $C$로 뭉뚱그려 표기한다.

예를 들어 $f(x) = 2x$의 원시함수는 $F(x) = x^2$이지만, $x^2+1$, $x^2-5$, $x^2+100$도 모두 미분하면 $2x$가 되므로 전부 원시함수다. 그래서 $\int 2x\,dx = x^2 + C$라고 쓴다.

부정적분이라는 이름의 이유: “부정(不定)“은 “정해지지 않았다”는 뜻이다. 적분상수 $C$가 어떤 값인지 정해지지 않은 채로 함수 전체(그래프가 위아래로 평행이동한 가족 전체)를 나타내기 때문에 부정적분이라 부른다. 반대로 정적분은 하한과 상한이 정해져 있어 값이 숫자 하나로 확정되므로 “정(定)적분”이다.

미적분학의 기본정리: 정적분과 부정적분의 연결

쉽게 말하면: 정적분 값은, 부정적분(원시함수)을 구한 뒤 위끝을 대입한 값에서 아래끝을 대입한 값을 빼면 된다.

$f(x)$가 구간 $[a,b]$에서 연속이고 $F(x)$가 $f(x)$의 한 원시함수일 때,

이 정리 덕분에 리만 합의 극한을 매번 계산하는 대신, 원시함수만 찾으면 정적분을 대수적으로 빠르게 계산할 수 있다. 표기의 편의를 위해 $F(b)-F(a)$를 $\big[F(x)\big]_a^b$로 쓴다.

계산 예시. $\int_0^2 x^2\,dx$를 계산하자. $x^2$의 원시함수는 $\dfrac{x^3}{3}$이다(뒤에서 다룰 기본 공식으로 바로 확인 가능).

앞서 리만 합으로 어림잡았던 값($n=4$일 때 $3.75$)이 실제 값 $\dfrac{8}{3}\approx 2.667$보다 크게 나왔던 것도, “오른쪽 끝점을 쓰면 증가함수에서는 과대 추정된다”는 설명과 일관된다.

기본 적분 공식

쉽게 말하면: 미분 공식을 거꾸로 뒤집으면 적분 공식이 된다. 미분해서 무엇이 되는지를 거꾸로 떠올리면 적분 공식을 외우지 않아도 유도할 수 있다.

이 표는 13편의 미분 공식표를 그대로 뒤집은 것이다. 예를 들어 $(\sin x)' = \cos x$였으므로 $\int \cos x\,dx = \sin x + C$이고, $(-\cos x)' = \sin x$였으므로 $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$다. 부호가 헷갈릴 때는 “이 함수를 미분하면 정말 피적분함수가 나오는가”를 직접 미분해서 확인하는 것이 가장 확실하다.

계산 예시와 검산

$\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$를 계산하자. 다항식은 각 항을 따로 적분한다($x^n$ 공식 적용).

• $3x^2$의 적분: $3 \times \dfrac{x^3}{3} = x^3$
• $-4x$의 적분: $-4 \times \dfrac{x^2}{2} = -2x^2$
• $5$의 적분: $5x$ ($5 = 5x^0$이므로 $5 \times \dfrac{x^1}{1} = 5x$)

검산 — 반대 연산으로 확인. 적분한 결과를 다시 미분해서 원래 피적분함수가 나오는지 확인한다.

미분한 결과가 원래 함수 $3x^2-4x+5$와 정확히 일치한다. 이 검산 절차(적분 → 미분 → 원식 확인)는 앞으로 모든 적분 문제에서 반드시 습관화해야 한다.

치환적분 기초 (substitution)

쉽게 말하면: 복잡한 식 안에 덩어리(합성함수 구조)가 보이면, 그 덩어리를 새 문자 $u$로 치환해 간단한 적분으로 바꾼다.

원리

연쇄법칙(chain rule)으로 $\dfrac{d}{dx}\big[g(u(x))\big] = g'(u(x)) \cdot u'(x)$였다는 것을 12~13편에서 배웠다. 치환적분은 이 연쇄법칙을 거꾸로 적용하는 것이다. 피적분함수가 $u'(x)$와 $g'(u(x))$의 곱 형태로 보이면, $u = u(x)$로 치환해 적분을 단순화할 수 있다.

계산 절차

$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$를 계산하자.

검산 — 미분해서 원식으로 돌아오는지 확인. 연쇄법칙으로 미분한다.

미분 결과가 원래 피적분함수 $2x(x^2+1)^3$과 정확히 일치한다.

정적분에서의 치환: 적분구간도 함께 바꾼다

$\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$를 계산하자. 부정적분을 먼저 구해 상하한을 대입해도 되지만, 치환적분에서는 적분구간을 $u$의 범위로 바꾸는 방법도 있다.

검산 — 다른 방법(부정적분을 먼저 구하고 $x$의 상하한을 대입)으로 재계산. 앞서 구한 부정적분 $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}$에 $x=0$과 $x=1$을 직접 대입한다.

두 방법(적분구간을 $u$로 바꾸는 방법, $x$로 되돌린 뒤 대입하는 방법) 모두 $\dfrac{15}{4}$로 정확히 일치한다.

자주 틀리는 점

• 부정적분에 적분상수 $C$를 빠뜨린다. $\int f(x)\,dx$의 답은 항상 $+C$로 끝나야 한다. 정적분은 $C$가 계산 과정에서 상쇄되어 사라지므로 $C$를 붙이지 않는다 — 이 둘을 혼동해 정적분 답에 $C$를 남기거나 부정적분 답에서 $C$를 빠뜨리는 실수가 흔하다.
• $\int x^n\,dx$ 공식에서 $n=-1$인 경우를 놓친다. $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ 공식은 $n=-1$일 때 분모가 $0$이 되어 쓸 수 없다. $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$라는 별도 공식을 써야 한다.
• 치환적분에서 $dx$를 $du$로 바꾸지 않고 그대로 둔다. $u=u(x)$로 치환했으면 $dx$도 반드시 $du$와 $u'(x)$의 관계로 바꿔야 한다. 이 과정을 생략하면 남은 식에 여전히 $x$가 섞여 있어 $u$만의 적분이 되지 않는다.
• 정적분에서 치환할 때 적분구간을 바꾸지 않고 그대로 둔 채 $u$로 계산한다. 적분구간은 $x$의 범위이므로, $u$로 치환했으면 구간도 $u$의 범위로 바꿔야 한다. 구간을 바꾸지 않으려면 계산 후 다시 $x$로 되돌린 뒤 원래 $x$의 상하한을 대입해야 한다.
• 정적분 값을 구하고 나서 그것을 곧바로 “넓이”라고 단정한다. 함수값이 음수인 구간에서는 정적분이 음수가 되어 넓이와 다르다. 이 문제는 다음 편(16편)에서 부호와 구간 처리 절차로 자세히 다룬다.

핵심 정리

• 정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$는 리만 합(직사각형 넓이의 합)의 극한으로 정의되며, $f(x)\geq0$인 구간에서는 곡선 아래 넓이와 같다.
• 부정적분 $\int f(x)\,dx = F(x)+C$는 미분해서 $f(x)$가 되는 원시함수 전체를 나타내며, 적분상수 $C$를 빠뜨리면 안 된다.
• 미적분학의 기본정리 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$가 정적분과 부정적분을 연결한다.
• 기본 적분 공식은 미분 공식표를 거꾸로 뒤집은 것이며, $x^n$ 공식은 $n=-1$일 때 예외로 $\ln\lvert x\rvert$를 쓴다.
• 치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 적용하는 것으로, 정적분이면 적분구간도 함께 바꿔야 한다.
• 적분 결과는 반드시 미분해서 원래 피적분함수로 돌아오는지 검산한다.

마무리 복습

참고 자료

• 미적분 I 교재 요약: 미분·적분 핵심 개념  — 정적분의 넓이 개념, 부정적분과 원시함수의 관계 정리에 참고
• 수학 공식 자료: 고등학교 미적분 적분 공식  — 기본 적분 공식표와 치환적분 기법을 독학사 범위에 맞게 재구성하는 데 참고