09. 이산형 분포: 이항분포·포아송분포

이번 문서의 목표: 베르누이 시행이 무엇인지 이해하고, 이항분포와 포아송분포의 확률·기댓값·분산을 직접 계산하며, 언제 이항분포를 포아송분포로 근사할 수 있는지 판단할 수 있게 된다.

왜 이 두 분포부터 배우는가

09편에서 확률변수와 확률질량함수(probability mass function)라는 일반적인 틀을 배웠다. 이제 그 틀 안에서 실제로 가장 많이 쓰이는 이산형 분포 두 가지를 다룬다. “성공/실패가 반복되는 상황”을 다루는 이항분포(binomial distribution)와 “일정 기간·구간에서 드물게 일어나는 사건의 횟수”를 다루는 포아송분포(Poisson distribution)다. 이 둘은 독학사 기초통계학에서 계산 문제로 가장 자주 출제되는 분포이므로, 정의뿐 아니라 숫자를 직접 넣어보는 연습이 중요하다.

베르누이 시행: 모든 것의 출발점

쉽게 말하면: 베르누이 시행은 결과가 “성공” 아니면 “실패” 둘 중 하나뿐인 한 번의 실험이다.

베르누이 시행(Bernoulli trial)은 다음 조건을 만족하는 실험이다.

결과가 오직 두 가지(성공 또는 실패)뿐이다.
성공 확률을 $p$ (피, 확률을 나타내는 기호로 이 단원에서는 관례적으로 소문자 $p$ 를 성공 확률에 쓴다)라 하면, 실패 확률은 $1-p$ 다.

예를 들어 동전 던지기(앞면=성공), 불량품 검사(불량=성공으로 정의할 수도 있음), 시험 문제 하나를 맞히는지 여부가 모두 베르누이 시행이다. 확률변수 $X$ 를 “성공하면 1, 실패하면 0”으로 정의하면, $X$ 의 확률질량함수는 다음과 같다.

f(x) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x = 0 \text{ 또는 } 1

$p^x$ : $x=1$ (성공)이면 $p^1=p$ , $x=0$ (실패)이면 $p^0=1$ 이 되어 식이 자동으로 맞물린다
$(1-p)^{1-x}$ : 반대로 실패 확률 쪽이 작동하는 부분

베르누이 시행 하나만으로는 큰 의미가 없지만, 이를 여러 번 독립적으로 반복하면 이항분포가 된다.

이항분포의 정의와 모수

쉽게 말하면: 이항분포는 “성공 확률이 $p$ 인 시행을 $n$ 번 반복했을 때, 성공이 몇 번 나오는가”를 나타내는 분포다.

이항분포를 따르는 확률변수 $X$ 는 다음 조건에서 나온다.

같은 시행을 독립적으로 $n$ 번 반복한다.
매 시행의 성공 확률은 항상 $p$ 로 동일하다.
$X$ 는 $n$ 번 중 성공한 횟수다.

이때 $X$ 는 이항분포를 따른다고 하고, $X \sim B(n, p)$ 라고 쓴다.

$\sim$ : “~를 따른다”는 뜻의 기호(물결표이지만 표 밖 산문·수식에서 사용하는 것으로, 이 문서의 en dash 금지 규칙과는 무관한 별개의 통계 표기다)
$B$ : 이항분포(Binomial distribution)를 뜻하는 기호
$n$ , $p$ : 이항분포를 결정짓는 두 모수(parameter, 분포의 모양을 정하는 상수). $n$ 은 시행 횟수, $p$ 는 매 시행의 성공 확률

이항분포의 확률질량함수는 다음과 같다.

f(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, n

$\binom{n}{x}$ (엔 콤비네이션 엑스, $n$ 개 중 $x$ 개를 순서 없이 뽑는 조합의 수): $n$ 번의 시행 중 정확히 어느 $x$ 번이 성공이었는지 배치하는 경우의 수
$p^x$ : 그 $x$ 번이 모두 성공할 확률
$(1-p)^{n-x}$ : 나머지 $n-x$ 번이 모두 실패할 확률

조합 $\binom{n}{x}$ 는 다음과 같이 계산한다.

\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}

$n!$ (엔 팩토리얼): $n$ 부터 1까지 모든 정수를 곱한 값. 예: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$x!(n-x)!$ : 성공한 $x$ 개끼리, 실패한 $n-x$ 개끼리는 순서를 구분하지 않으므로 각각의 순서 경우의 수로 나눠준다

계산 예시: 조합을 실제 숫자로 전개하기

주사위를 5번 던져 “6이 나오는 횟수”를 $X$ 라고 하자. 이때 $n=5$ , 성공(6이 나옴) 확률 $p=\frac{1}{6}$ 이다. $X=2$ (정확히 2번 6이 나올) 확률을 구해보자.

먼저 조합 $\binom{5}{2}$ 를 계산한다.

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}

분자와 분모를 각각 숫자로 풀어 쓴다.

\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10

이제 확률질량함수에 $n=5$ , $x=2$ , $p=\frac{1}{6}$ 을 대입한다.

f(2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{3}

각 부분을 따로 계산한다. $\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$ 이고, $\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$ 이다.

f(2) = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216}

분자끼리, 분모끼리 곱하면,

f(2) = \frac{10 \times 125}{36 \times 216} = \frac{1250}{7776} \approx 0.1608

주사위를 5번 던져 정확히 2번 6이 나올 확률은 약 16.08퍼센트(0.1608)다.

이항분포의 기댓값과 분산

이항분포는 매번 확률질량함수 전체를 더해 기댓값·분산을 구하지 않아도, 다음과 같은 간단한 공식이 성립한다(베르누이 시행을 $n$ 번 더한 것이 이항분포이므로, 09편의 선형결합 성질을 이용해 유도된다).

E(X) = np

\text{Var}(X) = np(1-p)

$n$ : 시행 횟수
$p$ : 성공 확률
$1-p$ : 실패 확률

검산: 정의식으로도 같은 결과가 나오는지 확인

공식이 맞는지, 아주 작은 경우( $n=2$ )로 정의식과 비교해서 검산해보자. 동전을 2번 던져 앞면 나온 횟수 $X \sim B(2, 0.5)$ 를 생각한다. 확률질량함수를 표로 만들면 다음과 같다.

$x$	0	1	2
$f(x)$	0.25	0.5	0.25

먼저 공식으로 기댓값을 구하면,

E(X) = np = 2 \times 0.5 = 1

이제 정의식 $E(X) = \sum_x x f(x)$ 로도 구해본다.

E(X) = 0 \times 0.25 + 1 \times 0.5 + 2 \times 0.25 = 0 + 0.5 + 0.5 = 1

공식으로 구한 값 1과 정의식으로 구한 값 1이 정확히 일치한다. 분산도 같은 방식으로 검산할 수 있다. 공식으로는,

\text{Var}(X) = np(1-p) = 2 \times 0.5 \times 0.5 = 0.5

정의식 $E(X^2) - [E(X)]^2$ 으로 구하면, 먼저 $E(X^2) = 0^2 \times 0.25 + 1^2 \times 0.5 + 2^2 \times 0.25 = 0 + 0.5 + 1 = 1.5$ 이고, $[E(X)]^2 = 1^2 = 1$ 이므로 $\text{Var}(X) = 1.5 - 1 = 0.5$ 다. 공식과 정의식 모두 0.5로 일치한다. 이렇게 공식은 계산을 줄여주는 지름길일 뿐, 정의식과 항상 같은 답을 낸다는 것을 확인했다.

자주 틀리는 점

분산 공식을 $np$ 로만 쓰고 $(1-p)$ 를 빼먹는 실수가 매우 흔하다. 이항분포의 분산은 반드시 $np(1-p)$ 이며, $p$ 가 0.5일 때 분산이 최대가 되고 $p$ 가 0이나 1에 가까울수록 분산이 작아진다는 것도 함께 기억하면 실수를 줄일 수 있다.
조합 $\binom{n}{x}$ 을 계산할 때 $x!(n-x)!$ 대신 $x! \times n!$ 처럼 잘못 나누는 실수가 있다. 반드시 분모는 “성공 개수의 팩토리얼 곱하기 실패 개수의 팩토리얼”이다.

포아송분포: 희귀사건의 발생 횟수

쉽게 말하면: 포아송분포는 “정해진 시간이나 공간 안에서, 평균적으로 몇 번 일어나는지 알고 있는 드문 사건이 정확히 몇 번 일어날까”를 나타내는 분포다.

포아송분포(Poisson distribution)는 콜센터에 한 시간 동안 걸려오는 전화 수, 하루 동안 발생하는 교통사고 건수, 한 페이지에 있는 오타 개수처럼 “특정 구간에서 드물게, 서로 독립적으로 발생하는 사건의 횟수”를 다룰 때 쓴다. 모수는 단 하나, 평균 발생 횟수 $\lambda$ (람다, 그 구간에서 평균적으로 몇 번 일어나는지를 나타내는 상수) 뿐이다. $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ 로 쓰고, 확률질량함수는 다음과 같다.

f(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots

$e$ (자연상수, 약 2.71828): 수학에서 자주 등장하는 고정된 상수
$\lambda$ : 그 구간에서 평균적으로 발생하는 사건의 횟수
$x!$ : $x$ 의 팩토리얼

포아송분포의 기댓값과 분산은 특이하게도 둘 다 $\lambda$ 로 같다.

E(X) = \lambda

\text{Var}(X) = \lambda

기댓값과 분산이 똑같이 $\lambda$ 라는 것은 포아송분포만의 독특한 성질이다.

계산 예시: 콜센터 문의 건수

어느 콜센터에 10분 동안 평균 3건의 문의 전화가 걸려온다고 하자( $\lambda = 3$ ). 정확히 2건이 걸려올 확률 $f(2)$ 를 구해보자.

f(2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!}

$e^{-3} \approx 0.0498$ 이고, $3^2 = 9$ , $2! = 2$ 이므로,

f(2) = \frac{0.0498 \times 9}{2} = \frac{0.4482}{2} \approx 0.2241

10분 동안 정확히 2건의 문의가 걸려올 확률은 약 22.41퍼센트다. 이 경우 기댓값은 $E(X) = \lambda = 3$ 이고 분산도 $\text{Var}(X) = \lambda = 3$ 이다.

이항분포를 포아송분포로 근사하기

쉽게 말하면: 시행 횟수 $n$ 이 아주 크고 성공 확률 $p$ 가 아주 작을 때는, 복잡한 이항분포 계산 대신 훨씬 간단한 포아송분포로 대략 계산해도 된다.

이항분포의 확률질량함수는 $n$ 이 커질수록 조합 $\binom{n}{x}$ 계산이 급격히 복잡해진다. 그런데 다음 조건을 만족하면, 이항분포 $B(n, p)$ 를 포아송분포로 근사할 수 있다는 것이 알려져 있다.

$n$ 이 충분히 크다(일반적으로 $n \geq 30$ 정도가 기준으로 자주 쓰인다)
$p$ 가 충분히 작다(일반적으로 $p \leq 0.05$ 정도)
이때 근사에 사용하는 포아송분포의 모수는 $\lambda = np$

\lambda = np

$n$ : 이항분포의 시행 횟수
$p$ : 이항분포의 성공 확률
이렇게 구한 $\lambda$ 를 포아송분포의 확률질량함수에 그대로 대입해 확률을 근사한다

이 근사가 성립하는 이유는 직관적으로 이렇다. $n$ 이 아주 크고 $p$ 가 아주 작으면, 평균 성공 횟수 $np$ 는 적당한 크기로 유지되면서도 “매번 성공할 확률은 낮지만 시행 횟수가 워낙 많아 어쩌다 몇 번은 성공하는” 상황이 되는데, 이것이 바로 포아송분포가 설명하는 “희귀사건의 발생 횟수” 상황과 정확히 같아지기 때문이다.

계산 예시: 근사 적용하기

어느 공장에서 부품의 불량률이 $p=0.01$ (1퍼센트)이고, 하루에 $n=200$ 개를 생산한다고 하자. 불량품이 정확히 3개 나올 확률을 구해보자.

이항분포로 직접 계산하려면 $\binom{200}{3}$ 처럼 매우 큰 조합을 계산해야 하므로, 근사 조건( $n=200$ 은 충분히 크고, $p=0.01$ 은 충분히 작음)을 확인하고 포아송분포로 근사한다. 먼저 $\lambda$ 를 구한다.

\lambda = np = 200 \times 0.01 = 2

이제 포아송분포의 확률질량함수에 $\lambda=2$ , $x=3$ 을 대입한다.

f(3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!}

$e^{-2} \approx 0.1353$ 이고, $2^3=8$ , $3!=6$ 이므로,

f(3) = \frac{0.1353 \times 8}{6} = \frac{1.0824}{6} \approx 0.1804

불량품이 정확히 3개 나올 확률은 약 18.04퍼센트로 근사된다. 실제 이항분포로 정확히 계산한 값과 비교해도 이 근사값은 매우 가깝다 — $n$ 이 크고 $p$ 가 작을수록 근사 오차는 더 작아진다.

어떤 분포를 쓸지 판단하는 흐름

자주 틀리는 점

근사 조건을 확인하지 않고 무조건 계산이 편하다는 이유로 포아송분포를 쓰면 안 된다. $n$ 이 작거나 $p$ 가 크면 근사 오차가 커져 답이 틀릴 수 있다.
$\lambda = np$ 를 계산할 때 $p$ 대신 $1-p$ 를 곱하는 실수가 있다. $\lambda$ 는 항상 “평균적으로 성공(사건 발생)하는 횟수”이므로 성공 확률 $p$ 를 곱해야 한다.
포아송분포는 기댓값과 분산이 똑같이 $\lambda$ 라는 점이 이항분포(기댓값 $np$ , 분산 $np(1-p)$ 로 서로 다름)와 뚜렷이 다르다는 것을 혼동하지 않아야 한다.

핵심 정리

베르누이 시행은 성공/실패 두 결과만 있는 단일 시행이며, 이를 $n$ 번 독립 반복한 것이 이항분포 $B(n,p)$ 다.
이항분포의 확률질량함수는 $f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$ 이고, 기댓값은 $np$ , 분산은 $np(1-p)$ 다.
포아송분포는 평균 발생 횟수 $\lambda$ 하나만으로 정해지며, 기댓값과 분산이 모두 $\lambda$ 로 같다.
$n$ 이 크고 $p$ 가 작을 때( $n \geq 30$ , $p \leq 0.05$ 가 기준) 이항분포를 $\lambda=np$ 인 포아송분포로 근사할 수 있다.

마무리 복습

문제 14지선다

이항분포 B(n, p)의 조건으로 옳지 않은 것은?

매 시행이 서로 독립적이다매 시행의 성공 확률은 항상 같은 p다시행 횟수 n은 매번 달라질 수 있다각 시행의 결과는 성공 또는 실패 둘 중 하나다

문제 24지선다

주사위를 4번 던져 정확히 1번 6이 나올 확률을 구할 때 필요한 조합 C(4,1)의 값은?

14624

문제 34지선다

X ~ B(10, 0.3)일 때 E(X)와 Var(X)를 순서대로 구하면?

E(X)=3, Var(X)=2.1E(X)=3, Var(X)=3E(X)=7, Var(X)=2.1E(X)=3, Var(X)=0.3

문제 44지선다

이항분포를 포아송분포로 근사하기 위한 조건으로 가장 적절한 것은?

n이 작고 p가 큰 경우n이 크고 p가 작은 경우, lambda=np로 근사n과 p의 크기에 관계없이 항상 근사 가능p가 정확히 0.5인 경우

문제 54지선다

어느 도서관에 한 시간당 평균 4건의 분실물 신고가 접수된다(포아송분포, lambda=4). 정확히 0건이 접수될 확률 f(0)에 가장 가까운 값은?

0.01830.07330.14650.25

문제 64지선다

포아송분포 X~Poisson(5)에 대한 설명으로 옳은 것은?

E(X)=5, Var(X)=25E(X)=25, Var(X)=5E(X)=5, Var(X)=5E(X)와 Var(X)는 알 수 없다

문제 74지선다

이항분포의 확률질량함수 f(x) = C(n,x) p^x (1-p)^(n-x)에서 각 부분의 역할을 잘못 설명한 것은?

C(n,x)는 n번 중 성공 x번의 위치를 정하는 경우의 수다p^x는 x번 모두 성공할 확률이다(1-p)^(n-x)는 나머지가 모두 실패할 확률이다C(n,x)는 성공 확률 p의 크기를 조정하는 역할이다

참고 자료

Introduction to Applied Statistics: Lecture Notes — 이항분포·포아송분포 정의와 예제 구조 참고
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods