04. 삼각·지수·로그함수 기초 개념

이번 문서의 목표: 이 파일을 다 읽으면 sin·cos·tan의 정의와 대략적인 그래프 모양을 설명하고, 지수함수와 로그함수가 서로 어떤 관계인지, 기본 성질이 왜 성립하는지 말할 수 있다.

왜 이 세 함수를 미리 묶어서 보나

06편(함수의 종류와 그래프)에서는 다항함수·유리함수·무리함수와 함께 지수함수·로그함수의 그래프와 성질을 더 깊이 다루고, 13편 이후 미분·적분에서는 삼각함수·지수함수·로그함수의 미분·적분 공식이 반복해서 등장한다. 이 편은 그 모든 계산에 앞서, “이 함수가 무엇을 뜻하는가” 라는 가장 기초적인 그림을 그려 두는 자리다. 식 변형이나 미분·적분 공식은 다루지 않는다.

쉽게 말하면: 삼각함수는 “각도를 넣으면 비율이 나오는 함수”, 지수함수는 “지수 자리에 변수를 넣는 함수”, 로그함수는 “지수함수를 거꾸로 뒤집은 함수”다.

삼각함수: 각과 비율을 잇는 함수

삼각함수(trigonometric function)는 각의 크기를 입력하면, 직각삼각형 세 변의 비율을 출력하는 함수다.

각 $\theta$ (세타, 각의 크기를 나타낼 때 흔히 쓰는 그리스 문자)를 갖는 직각삼각형에서, 각 $\theta$ 에 마주보는 변을 높이, 각 $\theta$ 를 낀 변 중 직각이 아닌 변을 밑변, 직각의 대변(가장 긴 변)을 빗변이라 하면 세 가지 기본 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.

기호	이름	읽는 법	정의(직각삼각형 비율)
$\sin\theta$	사인	”사인 세타”	$\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$
$\cos\theta$	코사인	”코사인 세타”	$\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$
$\tan\theta$	탄젠트	”탄젠트 세타”	$\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

비유: 산을 오르는 경사로를 생각해 보자. 경사각이 커질수록 같은 거리를 가도 더 높이 올라간다. $\sin\theta$ 는 “이동한 거리(빗변) 중에서 실제로 높아진 비율”, $\cos\theta$ 는 “실제로 앞으로 나아간 비율”이라고 보면 된다.

대표적인 각의 값

시험에서 자주 쓰는 특수각의 값을 직접 확인해 보자. 한 변의 길이가 $1$ 인 정삼각형을 반으로 잘라 만든 직각삼각형(빗변 $1$ , 밑변 $\dfrac{1}{2}$ , 높이 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ )을 이용하면 $30°$ 와 $60°$ 의 값을, 직각이등변삼각형을 이용하면 $45°$ 의 값을 구할 수 있다.

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	정의되지 않음

$\theta=45°$ 의 경우를 직접 검산해 보면, $\tan 45° = \dfrac{\sin 45°}{\cos 45°} = \dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$ 로 표의 값과 일치한다.

자주 틀리는 점: $\theta = 90°$ 에서 $\tan\theta$ 는 정의되지 않는다. $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 인데 $\cos 90° = 0$ 이라 분모가 $0$ 이 되기 때문이다. “0으로 나누기는 정의되지 않는다”는 원칙이 삼각함수에도 그대로 적용된다.

삼각함수를 각도가 아닌 함수로 보기: 그래프

각 $\theta$ 를 가로축(radian 단위, 즉 각도를 호의 길이 비율로 나타낸 단위를 흔히 씀)에, 함수 값을 세로축에 놓고 그래프를 그리면 다음과 같은 특징이 나타난다.

함수	정의역	치역	주기	그래프 모양
$y=\sin\theta$	실수 전체	$[-1, 1]$	$360°$ (라디안 $2\pi$ )	$0$ 에서 시작해 물결치듯 오르내림
$y=\cos\theta$	실수 전체	$[-1, 1]$	$360°$ (라디안 $2\pi$ )	$1$ 에서 시작해 물결치듯 오르내림
$y=\tan\theta$	$90°+180°\times n$ 을 제외한 실수 전체	실수 전체	$180°$ (라디안 $\pi$ )	일정 구간마다 급격히 치솟았다가 끊기고 다시 시작

주기(period): 그래프가 똑같은 모양을 반복하는 데 걸리는 간격. $\sin$ 과 $\cos$ 은 $360°$ 마다, $\tan$ 은 $180°$ 마다 같은 모양이 반복된다.
$\tan\theta$ 의 정의역에서 제외되는 지점은 $\cos\theta = 0$ 이 되는 지점, 즉 $90°, 270°, \dots$ 처럼 $90°$ 에 $180°$ 의 배수를 더한 각들이다.

이 그래프의 정확한 개형을 이용해 방정식·부등식을 푸는 방법, 그리고 미분·적분 공식은 06편과 13–16편에서 다룬다. 이 편에서는 “sin·cos는 $-1$ 과 $1$ 사이를 오간다”, “tan은 특정 각에서 정의되지 않는다”는 그림만 확실히 잡아 둔다.

지수함수: 지수 자리에 변수를 놓은 함수

지수함수(exponential function)는 밑(base)이 고정된 양수이고, 지수(exponent) 자리에 변수 $x$ 가 들어가는 함수다.

y = a^x \quad (a>0,\ a \ne 1)

$a$ : 밑이라 부르며, $0$ 보다 크고 $1$ 이 아닌 고정된 수여야 한다.
$x$ : 지수 자리에 오는 변수. 정의역은 실수 전체다.

밑에 조건이 붙는 이유가 있다. $a=1$ 이면 $1^x$ 은 $x$ 가 어떤 값이어도 항상 $1$ 이 되어 버려 의미 있는 함수가 되지 못한다. $a \le 0$ 이면 $a^{1/2}$ 처럼 지수가 분수일 때 실수 범위에서 값이 정의되지 않는 경우가 생긴다(예: $(-4)^{1/2} = \sqrt{-4}$ 는 실수가 아니다). 그래서 밑은 항상 $a>0, a\ne1$ 으로 제한한다.

예시: $y = 2^x$ 에서 $x$ 에 값을 넣어 확인해 보자.

2^0 = 1,\quad 2^1 = 2,\quad 2^2 = 4,\quad 2^3 = 8,\quad 2^{-1} = \frac{1}{2},\quad 2^{-2} = \frac{1}{4}

$x$ 가 커질수록 값이 빠르게 커지고, $x$ 가 음수 쪽으로 갈수록 $0$ 에 가까워지지만 결코 $0$ 이 되지는 않는다.

밑 $a$ 의 범위	그래프 방향	예시
$a > 1$	$x$ 가 커질수록 $y$ 도 커짐(증가)	$y = 2^x$
$0 < a < 1$	$x$ 가 커질수록 $y$ 는 작아짐(감소)	$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$

지수함수의 그래프는 항상 $x$ 축(즉 $y=0$ )에 한없이 가까워지지만 절대 닿지 않는다. 이런 선을 점근선(asymptote)이라 부른다. 또한 $x=0$ 을 넣으면 $a^0=1$ 이므로, 밑이 무엇이든 지수함수의 그래프는 항상 점 $(0,1)$ 을 지난다.

쉽게 말하면: 지수함수는 “매 단계마다 같은 배율로 곱해지는 변화”를 나타낸다. 03편에서 다룬 등비수열이 정수 단계에서 이런 변화를 보여주는 예라면, 지수함수는 그 변화를 모든 실수 $x$ 로 매끄럽게 확장한 것이다.

로그함수: 지수함수를 거꾸로 뒤집은 함수

로그(logarithm)는 “밑을 몇 제곱해야 특정 값이 되는가”를 답으로 내놓는 연산이다.

\log_a N = x \iff a^x = N \quad (a>0,\ a\ne1,\ N>0)

$\log_a N$ : “로그 에이 엔” 또는 “ $a$ 를 밑으로 하는 $N$ 의 로그”라고 읽는다.
$a$ : 밑. 지수함수와 마찬가지로 $0$ 보다 크고 $1$ 이 아니어야 한다.
$N$ : 진수(眞數)라 부르며, 로그를 취하는 대상. 반드시 양수여야 한다.
$x$ : “ $a$ 를 몇 제곱해야 $N$ 이 되는가”에 대한 답.

이 정의에서 로그와 지수는 서로 뒤집힌 관계임을 알 수 있다. $\log_a N = x$ 라는 말은 " $a^x = N$ "이라는 말을 다르게 쓴 것일 뿐이다. 실제로 로그함수 $y=\log_a x$ 는 지수함수 $y=a^x$ 의 역함수다(역함수의 정확한 뜻과 성질은 02편의 전단사 개념, 06편의 역함수를 참고).

예시로 직접 확인하기: $\log_2 8$ 을 구해 보자. 이는 “ $2$ 를 몇 제곱해야 $8$ 이 되는가”를 묻는 것이다.

2^3 = 8 \implies \log_2 8 = 3

$\log_{10} 100$ 도 마찬가지로 확인한다.

10^2 = 100 \implies \log_{10} 100 = 2

자주 틀리는 점: 진수 조건( $N>0$ )을 빠뜨리는 실수가 매우 흔하다. $\log_2(-4)$ 나 $\log_2 0$ 은 애초에 정의되지 않는다 — “ $2$ 를 몇 제곱해도 $-4$ 나 $0$ 이 나올 수 없기” 때문이다. 로그가 들어간 방정식·부등식을 풀 때는 답을 구한 뒤에도 반드시 진수가 양수인지 다시 확인해야 하며, 이 부분은 07편(방정식·부등식)과 12편(극한 계산 기법)에서 실수를 줄이는 핵심 검산 단계로 다시 강조된다.

로그의 기본 성질

로그는 정의상 지수를 거꾸로 뒤집은 것이므로, 지수법칙에서 곱셈이던 것이 로그에서는 덧셈으로 바뀐다. 아래 세 성질은 이후 편들에서 계산의 기본 도구로 계속 쓰인다.

\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N

곱셈의 로그는 각각의 로그의 합이다.

\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N

나눗셈의 로그는 각각의 로그의 차다.

\log_a (M^k) = k \log_a M

거듭제곱의 로그는 지수를 로그 앞으로 끌어낼 수 있다.

예시로 첫 번째 성질 검산하기: $\log_2(4 \times 8)$ 을 두 가지 방법으로 계산해 같은 값이 나오는지 확인해 보자.

\log_2(4 \times 8) = \log_2 32

$2^5 = 32$ 이므로 $\log_2 32 = 5$ 다. 이번에는 성질을 이용해 계산해 보자.

\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

( $2^2=4$ 이므로 $\log_2 4=2$ , $2^3=8$ 이므로 $\log_2 8=3$ 이다.) 두 방법의 결과가 $5$ 로 정확히 일치한다.

핵심 정리

$\sin\theta, \cos\theta$ 는 항상 $-1$ 과 $1$ 사이의 값을 가지며 $360°$ 마다 반복되고, $\tan\theta$ 는 $\cos\theta=0$ 이 되는 각에서 정의되지 않고 $180°$ 마다 반복된다.
지수함수 $y=a^x$ 은 밑 $a$ 가 $1$ 보다 크면 증가, $0$ 과 $1$ 사이이면 감소하며, 항상 점 $(0,1)$ 을 지나고 $x$ 축을 점근선으로 갖는다.
로그 $\log_a N$ 은 “ $a$ 를 몇 제곱해야 $N$ 이 되는가”를 뜻하며, 로그함수는 지수함수의 역함수다.
로그가 정의되려면 밑은 양수이면서 $1$ 이 아니어야 하고, 진수는 반드시 양수여야 한다.
$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ , $\log_a(M/N)=\log_a M-\log_a N$ , $\log_a(M^k)=k\log_a M$ 은 이후 계산 전반의 기본 도구다.

마무리 복습

문제 14지선다

직각삼각형에서 각 θ에 대해 빗변이 2, 높이가 1일 때 sin θ의 값은?

211/22배

문제 24지선다

tan 90°가 정의되지 않는 이유로 옳은 것은?

sin 90°가 0이라서cos 90°가 0이 되어 분모가 0이 되기 때문에90°는 삼각형의 각이 될 수 없어서tan은 원래 정의되지 않는 함수라서

문제 34지선다

지수함수 y = (1/3)^x에 대한 설명으로 옳은 것은?

x가 커질수록 y도 커진다x가 커질수록 y는 작아진다이 함수의 그래프는 점 (0,1)을 지나지 않는다밑이 1보다 작으므로 정의되지 않는 함수다

문제 44지선다

log_3 9의 값은?

1239

문제 54지선다

log_2 5 + log_2 4를 하나의 로그로 합친 값으로 옳은 것은?

log_2 9log_2 20log_2 1.25log_2 45

문제 64지선다

로그 log_a N이 정의되기 위한 조건으로 옳지 않은 것은?

a > 0a ≠ 1N > 0N ≠ 1