이 편에서 하는 일

18편에서는 모집단 하나의 평균·비율을 어떤 값과 비교했다. 이번 편은 모집단 둘을 서로 비교한다. “신약을 먹은 그룹과 안 먹은 그룹의 평균 회복 시간이 다른가”, “남녀 지지율에 차이가 있는가”, “두 공정의 산포가 같은가” 같은 문제가 여기에 해당한다. 검정 절차의 다섯 단계 틀(가설 설정 → 유의수준 → 검정통계량 → 기각역/p값 → 결론)은 18편과 동일하며, 이번 편의 핵심은 상황을 정확히 분류해 올바른 공식을 고르는 것이다.

쉽게 말하면: 두 집단이 서로 남남인지(독립표본), 같은 대상을 전후로 비교한 것인지(대응표본)를 먼저 가르고, 그다음 각 상황에 맞는 공식으로 차이를 검정한다.

독립표본과 대응표본: 가장 먼저 갈리는 갈림길

두 상황이 왜 다른가

독립표본(independent samples, 서로 관련 없는 두 집단에서 각각 뽑은 표본)은 두 그룹의 개체가 완전히 다른 대상이다. 예를 들어 남학생 30명과 여학생 30명의 시험 점수를 비교하는 경우, 어떤 남학생과 어떤 여학생을 짝지을 이유가 없다.

대응표본(paired samples, 같은 대상을 두 번 측정하거나 자연스럽게 짝지어진 표본)은 개체 하나하나가 짝을 이룬다. 예를 들어 다이어트 프로그램 참가자 20명의 “시작 전 체중”과 “6주 후 체중”을 비교하는 경우, 같은 사람의 전후 값이므로 자연스럽게 짝이 생긴다. 이 짝은 개인차(원래 체중이 높은 사람은 전후 모두 높게 나오는 경향 등)를 공유하기 때문에, 독립표본처럼 취급하면 이 개인차가 잡음으로 섞여 들어가 검정의 정확도가 떨어진다.

판단 기준을 표로 정리

자주 틀리는 점: 문제에 “두 그룹”이라는 말이 나온다고 무조건 독립표본으로 단정하면 안 된다. “같은 사람을”, “같은 기계를”, “전 · 후” 같은 표현이 있으면 대응표본이다. 대응표본인데 독립표본 공식을 쓰면 개인차가 표준오차에 그대로 섞여 들어가 검정력(power, 실제로 차이가 있을 때 그 차이를 찾아낼 능력)이 부당하게 낮아진다.

두 모평균 비교 — 독립표본

등분산인지 이분산인지부터 확인

독립표본 t검정은 두 모집단의 분산이 같다고 볼 수 있는지(등분산 가정)에 따라 공식이 갈린다. 등분산 여부는 문제에서 “두 모집단의 분산은 같다고 가정한다”처럼 직접 알려주거나, 20편 이전 단원에서 배운 두 분산 비교 검정(이 편의 뒷부분)으로 먼저 확인한다.

등분산을 가정할 때는 두 표본의 분산을 하나로 합친 합동분산(pooled variance) $S_p^2$ 을 쓴다.

• $n_1, n_2$: 두 표본의 크기
• $S_1^2, S_2^2$: 두 표본의 분산(각각 자유도 $n_1-1$, $n_2-1$ 로 계산)
• 분모의 $n_1+n_2-2$: 합동분산의 자유도. 두 표본에서 각각 평균 하나씩을 추정하는 데 자유도를 하나씩 썼으므로 전체 자유도에서 2를 뺀다

검정통계량은 다음과 같다.

• $\bar X_1, \bar X_2$: 두 표본의 평균
• $0$: 귀무가설이 보통 “두 모평균에 차이가 없다”($\mu_1 - \mu_2 = 0$)이므로 0을 뺀다
• 이 통계량은 자유도 $n_1+n_2-2$ 인 t분포를 따른다

예제로 다섯 단계 밟기

두 학원 A, B의 모의고사 평균 점수를 비교한다. A학원 $n_1 = 10$명의 평균 $\bar x_1 = 78$점, 분산 $S_1^2 = 20$. B학원 $n_2 = 12$명의 평균 $\bar x_2 = 74$점, 분산 $S_2^2 = 24$. 두 모집단의 분산은 같다고 가정하며, 유의수준 $\alpha = 0.05$ 에서 “두 학원의 평균이 다른지” 검정한다.

두 모평균 비교 — 대응표본

차이값으로 문제를 바꾼다

대응표본은 짝별 차이 $d_i = X_{1i} - X_{2i}$ 를 만들면, “차이값들의 모평균이 0인지”를 검정하는 단일 모평균 검정(18편)으로 그대로 환원된다. 즉 새로운 공식을 외울 필요 없이, 원자료 대신 차이값을 표본으로 삼아 18편의 t검정을 적용하면 된다.

• $\bar d$: 차이값들의 평균
• $S_d$: 차이값들의 표본표준편차
• $n$: 짝(대응)의 개수
• 자유도는 $n-1$ (차이값 하나짜리 표본을 다루므로 18편의 t검정과 동일한 자유도 규칙)

예제로 다섯 단계 밟기

수면 교육 프로그램 전후로 5명의 수면 시간(시간 단위)을 측정했다.

유의수준 $\alpha = 0.05$ 에서 “수면 시간이 늘었는지” 검정한다.

두 모비율 비교

두 모집단의 비율을 비교할 때는 두 표본을 합쳐 만든 합동비율(pooled proportion) $\hat p$ 를 표준오차 계산에 쓴다. 귀무가설이 “두 비율이 같다”($p_1=p_2$)이므로, 그 공통값을 두 표본을 합쳐 추정하는 것이다.

• $X_1, X_2$: 각 표본에서 특성을 가진 개체 수
• $n_1, n_2$: 각 표본크기

• $\hat p_1, \hat p_2$: 각 표본에서 따로 계산한 비율
• 이 통계량은 표준정규분포를 따른다(표본이 충분히 클 때)

두 모분산 비교: F검정

왜 F분포를 쓰는가

두 모집단의 분산이 같은지 검정할 때는 두 표본분산의 비율을 본다. 13편에서 배웠듯 F분포(F distribution)는 “두 카이제곱분포를 각자의 자유도로 나눈 뒤 그 비율을 취한 분포”로, 두 분산의 비율이 우연히 이 정도로 벌어질 수 있는지를 판단하는 데 알맞다.

• $S_1^2, S_2^2$: 두 표본의 분산
• 관례상 큰 분산을 분자에 놓아 $F \geq 1$ 이 되게 계산한다(표에서 오른쪽 꼬리 값만 찾으면 되도록 하기 위함)
• 이 통계량은 자유도 $(n_1-1, n_2-1)$ 인 F분포를 따른다. 분자의 자유도를 먼저, 분모의 자유도를 나중에 쓴다

예제로 다섯 단계 밟기

두 기계 A, B가 만드는 부품 지름의 산포를 비교한다. A기계 $n_1=13$개 표본의 분산 $S_1^2=12$, B기계 $n_2=10$개 표본의 분산 $S_2^2=4$. 유의수준 $\alpha=0.05$ 에서 “두 기계의 산포가 다른지” 검정한다.

자주 틀리는 점 모음

• 독립표본과 대응표본을 헷갈린다. “같은 대상을 전후로”, “짝지어진” 표현을 놓치면 대응표본을 독립표본처럼 계산해 자유도와 표준오차가 모두 틀어진다.
• 합동분산의 자유도를 $n_1+n_2$ 로 잘못 쓴다. 두 표본에서 각각 평균을 추정하느라 자유도를 하나씩 잃으므로 반드시 $n_1+n_2-2$ 다.
• F검정에서 분자·분모를 바꿔 자유도를 뒤섞는다. 분자에 놓은 표본의 자유도가 F분포 표기의 첫 번째 자유도다. 큰 분산을 분자에 놓는 관례를 지키지 않으면 $F<1$ 이 나와 표를 찾기 어려워진다.
• 두 모비율 검정에서 합동비율 대신 각 표본의 비율을 따로 표준오차에 쓴다. 귀무가설이 “두 비율이 같다”고 전제하므로 공통값(합동비율)으로 표준오차를 계산해야 한다.
• 대응표본 차이값의 방향을 정의만 해두고 결론에서 반대로 해석한다. $d =$ 후 − 전으로 정의했다면 $d>0$ 은 “늘었다”는 뜻이다. 정의와 해석의 방향을 반드시 맞춰 확인한다.

핵심 정리

• 두 집단 비교는 독립표본인지 대응표본인지를 가장 먼저 가른다. 개체가 짝지어지면 대응표본이다.
• 독립표본 평균 비교는 등분산 가정 시 합동분산으로 표준오차를 만들고, 자유도는 $n_1+n_2-2$ 다.
• 대응표본 평균 비교는 차이값 $d$ 를 만들어 단일 모평균 t검정(18편)으로 그대로 환원한다.
• 두 모비율 비교는 표준오차 계산에 두 표본을 합친 합동비율을 쓴다.
• 두 모분산 비교는 F검정을 쓰며, 큰 분산을 분자에 놓아 자유도 $(n_1-1, n_2-1)$ 인 F분포와 비교한다.

마무리 복습

참고 자료

• Regression and Correlation 기초 강의노트 계열 — 두 표본 비교·분산비 검정 절차 
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods 
• 국가평생교육진흥원 독학학위제