왜 정규분포가 중요한가

09편에서 연속형 확률변수는 확률밀도함수(probability density function) 곡선 아래의 넓이로 확률을 표현한다고 배웠다. 키, 몸무게, 시험 점수, 측정 오차처럼 자연·사회 현상에서 관찰되는 값들은 놀라울 만큼 자주 종 모양(bell shape)의 좌우 대칭 분포를 따르는데, 이 모양을 수학적으로 표현한 것이 정규분포(normal distribution)다. 정규분포는 06편에서 배운 표준화(standardization)와 직접 연결되고, 12편의 중심극한정리(central limit theorem)를 이해하는 데도 반드시 필요한 기초가 된다.

정규분포의 개념과 모수

쉽게 말하면: 정규분포는 평균을 중심으로 좌우가 완전히 대칭인 종 모양 곡선이며, 평균과 표준편차 두 숫자만 알면 곡선의 모양이 완전히 정해진다.

정규분포를 따르는 확률변수 $X$는 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$로 쓴다.

• $N$: 정규분포(Normal distribution)를 뜻하는 기호
• $\mu$ (뮤): 정규분포의 평균이자 곡선의 중심(가장 높은 봉우리의 위치)
• $\sigma^2$ (시그마 제곱): 정규분포의 분산. 값이 클수록 곡선이 옆으로 넓게 퍼진다

정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

• $\pi$ (파이, 약 3.14159): 원주율
• $e$ (자연상수, 약 2.71828)
• $\mu$, $\sigma$: 위에서 설명한 평균과 표준편차

이 식 자체를 손으로 계산할 일은 독학사 시험 범위에서는 거의 없다. 중요한 것은 모양의 성질이다.

• 곡선은 $\mu$를 중심으로 완전히 좌우 대칭이다.
• 곡선 아래 전체 넓이는 항상 1이다(확률밀도함수의 기본 조건, 09편 참고).
• $\mu$가 달라지면 곡선이 좌우로 평행이동하고, $\sigma$가 커지면 곡선이 옆으로 넓게 퍼지면서 낮아진다(전체 넓이는 항상 1을 유지해야 하므로).

표준정규분포와 z 변환

쉽게 말하면: 세상의 모든 정규분포를 일일이 표로 만들 수는 없으니, 평균 0·표준편차 1인 “표준 버전” 하나로 통일해서 계산한다.

정규분포는 $\mu$와 $\sigma$의 조합에 따라 무한히 많은 모양이 나올 수 있다. 매번 다른 모양의 표를 만들 수 없으므로, 평균이 0이고 표준편차가 1인 특별한 정규분포 하나를 기준으로 삼는데, 이를 표준정규분포(standard normal distribution)라 하고 $Z \sim N(0, 1)$로 쓴다.

임의의 정규분포 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$를 표준정규분포로 바꾸는 계산을 z 변환(z-transformation) 또는 표준화라 하며, 공식은 다음과 같다.

• $x$: 원래 관찰값
• $\mu$: $X$가 속한 정규분포의 평균
• $\sigma$: $X$가 속한 정규분포의 표준편차
• $z$: 표준화된 값으로, “평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는가”를 나타낸다

이 공식은 06편에서 배운 z점수(z-score) 공식과 정확히 같다. 그때는 자료의 상대적 위치를 비교하는 도구였다면, 여기서는 정규분포표를 조회하기 위한 변환 도구로 쓰인다는 점이 다르다.

표준정규분포표 사용법

표준정규분포표(z-table)는 $z$ 값에 대해 $P(Z \leq z)$, 즉 표준정규분포 곡선에서 $z$보다 왼쪽에 있는 넓이(누적확률)를 미리 계산해 정리한 표다. 아래는 실제 표의 일부를 발췌한 예시다(행은 $z$의 소수점 첫째 자리까지, 열은 둘째 자리를 나타낸다).

표를 읽는 절차는 다음과 같다.

계산 예시: z 변환부터 표 조회까지

어느 시험 점수가 $X \sim N(70, 100)$(평균 70점, 분산 100이므로 표준편차 $\sigma=\sqrt{100}=10$)을 따른다고 하자. 85점 이하를 받을 확률 $P(X \leq 85)$를 구해보자.

먼저 z 변환을 한다.

표에서 행 1.5, 열 0.00을 찾으면 $P(Z \leq 1.5) = 0.9332$다. z 변환은 원래 분포의 넓이 비율을 그대로 유지하므로,

85점 이하를 받을 확률은 약 93.32퍼센트다.

이번에는 특정 구간의 확률을 구해보자. 같은 분포에서 60점 이상 85점 이하를 받을 확률 $P(60 \leq X \leq 85)$를 구한다. 먼저 두 값을 각각 z 변환한다.

표준정규분포는 0을 중심으로 좌우 대칭이므로 $P(Z \leq -1) = 1 - P(Z \leq 1)$이 성립한다. 표에서 $P(Z \leq 1) = 0.8413$이므로,

앞서 구한 $P(Z \leq 1.5) = 0.9332$와 함께, 구간 확률은 두 누적확률의 차이다.

60점 이상 85점 이하를 받을 확률은 약 77.45퍼센트다.

자주 틀리는 점

• 표준정규분포표의 값은 $P(Z \leq z)$, 즉 왼쪽 누적확률이라는 것을 잊고 그대로 $P(Z \geq z)$로 착각하는 경우가 많다. 오른쪽 확률이 필요하면 $1 - P(Z \leq z)$로 반드시 뒤집어야 한다.
• $z$ 값이 음수일 때 표에 음수 행이 없다고 당황하는 경우가 있다. 대칭성을 이용해 $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$로 바꿔 계산하면 된다.
• 구간 확률을 구할 때 큰 z값의 누적확률에서 작은 z값의 누적확률을 빼야 하는데, 순서를 반대로 빼서 음수 확률이 나오는 실수가 흔하다. 확률은 절대 음수가 될 수 없으므로 결과가 음수면 순서를 다시 확인해야 한다.

정규근사: 이항분포를 정규분포로 근사하기

쉽게 말하면: 이항분포도 시행 횟수가 충분히 많아지면 종 모양에 가까워지므로, 계산이 훨씬 쉬운 정규분포로 바꿔서 근사할 수 있다.

10편에서 이항분포를 포아송분포로 근사하는 조건($n$이 크고 $p$가 작음)을 배웠다. 이번에는 반대로 $p$가 0.5에 가까워 극단적으로 작거나 크지 않은 경우, $n$이 충분히 크면 이항분포를 정규분포로 근사할 수 있다. 일반적으로 다음 조건을 근사 가능 기준으로 삼는다.

• $np$: 평균적으로 기대되는 성공 횟수
• $n(1-p)$: 평균적으로 기대되는 실패 횟수
• 두 값이 모두 충분히 크면(각각 5 이상), 성공과 실패 양쪽 모두 표본이 한쪽으로 쏠리지 않을 만큼 확보된다는 뜻이다

이 조건을 만족하면, $X \sim B(n, p)$를 다음 정규분포로 근사한다.

이항분포의 기댓값 $np$와 분산 $np(1-p)$(10편 참고)를 그대로 정규분포의 모수로 사용한다는 뜻이다.

계산 예시: 정규근사 적용하기

어느 여론조사에서 특정 후보 지지율이 $p=0.4$이고, $n=100$명을 조사한다고 하자. 지지자가 정확히 50명을 넘을 확률, 즉 $P(X > 50)$를 정규근사로 구해보자.

먼저 근사 조건을 확인한다. $np = 100 \times 0.4 = 40 \geq 5$이고, $n(1-p) = 100 \times 0.6 = 60 \geq 5$이므로 정규근사를 적용할 수 있다.

근사할 정규분포의 평균과 분산을 구한다.

표준편차는 $\sigma = \sqrt{24} \approx 4.90$이다. 이제 $x=50$을 z 변환한다.

표에서 $z=2.0$ 행, $0.04$에 가장 가까운 열을 조회하면(위 표에는 0.04 열이 없으므로 실제 표에서는 $P(Z \leq 2.04) \approx 0.9793$ 수준의 값을 찾게 된다) 근사적으로 $P(Z \leq 2.04) \approx 0.9793$을 얻는다. 따라서,

지지자가 50명을 넘을 확률은 약 2.07퍼센트로 근사된다.

어떤 분포를 쓸지 판단하는 흐름

자주 틀리는 점

• 정규근사 조건 $np \geq 5$와 $n(1-p) \geq 5$를 하나만 확인하고 넘어가는 실수가 있다. 둘 다 만족해야 근사가 안정적이다.
• 정규근사에서 분산은 $np(1-p)$이지 표준편차가 아니다. z 변환에는 표준편차 $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$를 써야 하므로 제곱근 취하는 것을 빠뜨리지 않아야 한다.
• 정규분포표는 $\mu=0$, $\sigma=1$인 표준정규분포 전용이다. 원래 분포의 $\mu$, $\sigma$를 표에 바로 대입하는 것이 아니라, 반드시 z 변환을 거친 뒤 조회해야 한다.

핵심 정리

• 정규분포 $N(\mu, \sigma^2)$는 평균 $\mu$를 중심으로 좌우 대칭인 종 모양이며, $\mu$와 $\sigma$ 두 모수로 모양이 완전히 결정된다.
• z 변환 $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$으로 임의의 정규분포를 표준정규분포 $N(0,1)$로 바꾸면, 표준정규분포표에서 $P(Z \leq z)$를 바로 조회할 수 있다.
• 구간 확률은 두 z값의 누적확률 차이로, 오른쪽 확률은 $1$에서 왼쪽 누적확률을 빼서 구한다.
• 이항분포는 $np \geq 5$이고 $n(1-p) \geq 5$일 때 $N(np, np(1-p))$로 정규근사할 수 있다.

마무리 복습

참고 자료

• Introduction to Applied Statistics: Lecture Notes  — 정규분포·표준정규분포표 사용법 구조 참고
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods  — 정규분포 및 정규근사 관련 공식 참고