지난 편 복습: 수열의 극한에서 함수의 극한으로

10편에서 수열(數列, sequence)의 극한을 배웠다. 수열 $a_n$은 $n=1, 2, 3, \ldots$처럼 정수 번호를 매겨 나열한 값들이고, $n$이 한없이 커질 때 $a_n$이 어떤 값 $L$에 한없이 가까워지면 그 수열은 $L$로 수렴(收斂, converge)한다고 했다. 이번 편에서 다루는 함수의 극한은 이 아이디어를 “정수 번호”가 아니라 “실수 $x$ 전체”로 확장한 것이다. 즉 $x$가 정수 칸을 하나씩 건너뛰며 움직이는 게 아니라, 실수축(02편에서 다룬 개념) 위를 연속적으로 미끄러지듯 움직이면서 특정 지점에 가까워질 때 함수값이 어디로 가는지를 본다.

이 편에서 세우는 “좌극한·우극한·연속·불연속”이라는 언어는 12편의 극한 계산 기법, 13편 이후의 미분·적분 전체에서 계속 쓰이는 기초 문법이다.

함수의 극한이란 무엇인가

쉽게 말하면: $x$가 어떤 값 $a$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$가 한없이 가까워지는 값이 있다면, 그 값이 함수의 극한이다.

왜 필요한가

함수 $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$을 생각해보자. $x=1$을 대입하면 분모가 $0$이 되어 정의되지 않는다. 그런데 $x=1$이 아닌 값, 예를 들어 $x=0.9,\ 0.99,\ 0.999$를 넣어보면 $f(x)$는 각각 $1.9,\ 1.99,\ 1.999$가 되어 $2$에 점점 가까워진다. 함수값 자체는 $x=1$에서 정의되지 않지만, $x=1$ 근처에서 함수가 어떤 값으로 다가가고 있다는 사실은 분명하다. 이 “다가가는 값”을 수학적으로 정확히 표현하려는 것이 극한(極限, limit)이다.

정의

$x$가 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$의 값이 어떤 실수 $L$에 한없이 가까워지면, 다음과 같이 쓴다.

• $\lim$: 리밋(limit), “극한”이라고 읽는다
• $x \to a$: “$x$가 $a$로 간다”, $x$가 $a$에 한없이 가까워진다는 뜻이지 $x=a$가 된다는 뜻이 아니다
• $L$: 극한값. $f(a)$ 자체가 정의되어 있는지, 정의되어 있다면 $L$과 같은지는 별개의 문제다

비유: 목적지 $a$를 향해 걸어가는데, 실제로 그 자리에 도착하는지는 상관없이 “걸어가면서 어디를 향해 다가가고 있는가”만 보는 것이 극한이다. 도착지에 담이 쳐져 있어 실제로는 들어갈 수 없어도(=$f(a)$가 정의되지 않아도), 담 바로 앞까지 다가가면서 바라보는 풍경(=극한값)은 분명히 존재할 수 있다.

앞의 예시를 정리하면 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2$다. 인수분해로 확인하면 $x\neq 1$일 때 $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$이므로, $x$가 $1$에 가까워지면 $x+1$은 $2$에 가까워진다. 이 인수분해·약분 기법은 12편에서 표준 절차로 자세히 다룬다.

좌극한과 우극한

쉽게 말하면: 왼쪽에서 다가갈 때의 극한과 오른쪽에서 다가갈 때의 극한을 따로 구해서, 둘이 같은지 확인하는 것이 함수의 극한을 정확히 판단하는 절차다.

왜 나누어 보는가

수열은 $n$이 항상 커지는 방향(오른쪽)으로만 움직였지만, 함수의 $x$는 $a$보다 작은 쪽(왼쪽)에서 다가갈 수도, $a$보다 큰 쪽(오른쪽)에서 다가갈 수도 있다. 두 방향에서 다가간 결과가 항상 같다는 보장은 없다. 대표적인 예가 절댓값이 섞인 함수나, 구간에 따라 다른 식으로 정의된 함수(조각함수, piecewise function)다.

정의

• $a^{-}$: ”$a$ 마이너스”, $a$보다 작은 값에서 $a$로 다가간다는 뜻. 이 극한을 좌극한(左極限, left-hand limit)이라 부른다

• $a^{+}$: ”$a$ 플러스”, $a$보다 큰 값에서 $a$로 다가간다는 뜻. 이 극한을 우극한(右極限, right-hand limit)이라 부른다

함수의 극한이 존재하기 위한 조건은 다음과 같다.

• $\iff$: “필요충분조건”을 나타내는 기호, 양쪽이 서로 동치(둘 다 참이거나 둘 다 거짓)라는 뜻(01편 조건명제 참고)

즉 좌극한과 우극한이 둘 다 존재하고 서로 같을 때만 그 공통값이 함수의 극한이 된다. 둘 중 하나라도 존재하지 않거나, 둘이 존재해도 값이 다르면 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ 자체는 존재하지 않는다.

계산 예시: 절댓값 함수

$f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ ($x \neq 0$)에서 $x=0$에서의 극한을 조사하자.

$x>0$일 때는 $|x|=x$이므로 $f(x) = \dfrac{x}{x} = 1$이다. 따라서

$x<0$일 때는 $|x|=-x$이므로 $f(x) = \dfrac{-x}{x} = -1$이다. 따라서

좌극한($-1$)과 우극한($1$)이 서로 다르므로, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$는 존재하지 않는다.

검산. $x=0.01$을 대입하면 $f(0.01) = 0.01/0.01 = 1$로 우극한 $1$에 가깝고, $x=-0.01$을 대입하면 $f(-0.01) = -0.01/0.01 = -1$로 좌극한 $-1$에 가깝다. 방향에 따라 실제로 다른 값에 다가가는 것이 수치로도 확인된다.

조각함수에서 좌극한·우극한 판단하기

조각함수는 구간에 따라 다른 식이 적용되므로, 경계값에서는 반드시 좌극한과 우극한을 따로 계산해야 한다.

다음 조각함수를 보자.

• 첫 번째 줄: $x$가 $2$보다 작을 때 적용되는 식
• 두 번째 줄: $x$가 $2$ 이상일 때 적용되는 식(등호가 이 식에 포함되어 있으므로 $f(2)$의 실제 값은 이 식으로 계산한다)

$x=2$에서의 좌극한은 $x<2$ 쪽 식을 쓴다.

$x=2$에서의 우극한은 $x \geq 2$ 쪽 식을 쓴다.

좌극한과 우극한이 모두 $3$으로 같으므로 $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=3$이다. 게다가 실제 함수값 $f(2) = 3(2)-3=3$도 $3$이므로, 이 함수는 $x=2$에서 극한값과 함수값이 일치한다(뒤에서 다룰 “연속”의 조건이다).

검산. $x=1.99$(왼쪽에서 접근)를 대입하면 $f(1.99) = 1.99+1 = 2.99$로 $3$에 근접한다. $x=2.01$(오른쪽에서 접근)을 대입하면 $f(2.01) = 3(2.01)-3 = 6.03-3=3.03$으로 역시 $3$에 근접한다. 양쪽에서 실제로 $3$을 향해 다가가는 것이 확인된다.

무한대로 가는 극한

쉽게 말하면: $x$가 한없이 커지거나 작아질 때 함수값이 어디로 가는지, 또는 $x$가 특정 값에 다가갈 때 함수값 자체가 한없이 커지거나 작아지는지를 다루는 것이 무한대 극한이다.

무한대(無限大, infinity, 기호 $\infty$)로 가는 극한은 두 가지 상황으로 나뉜다.

상황 1: $x$가 무한대로 갈 때 함수값의 극한

$x$ 자체가 한없이 커지거나($x \to \infty$) 한없이 작아질 때($x \to -\infty$) $f(x)$가 다가가는 값을 본다.

분자·분모를 $x$로 나눠 정리한다.

• $x \to \infty$일 때 $\dfrac{1}{x}$는 $0$에 한없이 가까워진다($x$가 커질수록 분수는 작아지므로)

검산. $x=1000$을 대입하면 $\dfrac{2(1000)+1}{1000} = \dfrac{2001}{1000} = 2.001$로 $2$에 매우 가깝다. $x=1{,}000{,}000$을 대입하면 $2.000001$로 더욱 가까워진다.

상황 2: $x$가 특정 값에 갈 때 함수값이 무한대로 갈 때

$x$가 $0$보다 큰 쪽에서 $0$에 가까워지면, $\dfrac{1}{x}$의 분모가 한없이 작은 양수가 되어 전체 값은 한없이 커진다. 이때는 다음과 같이 쓴다.

여기서 주의할 점이 있다. 이 $\infty$는 “그 값에 도달했다”는 뜻이 아니라 “함수값이 어떤 실수보다도 더 커지는 상태로 발산(發散, diverge)한다”는 것을 기호로 편의상 나타낸 것이다. 따라서 $\lim_{x\to 0^+}\frac1x=\infty$는 극한이 존재한다는 뜻이 아니라 존재하지 않는다는 뜻이며, 다만 발산하는 방식(양의 무한대로 발산)을 구체적으로 알려주는 표기다.

반대로 $x$가 $0$보다 작은 쪽에서 $0$에 가까워지면 $\dfrac{1}{x}$는 한없이 작은(음의 방향으로 큰) 값이 되어 $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac1x = -\infty$가 된다. 좌극한과 우극한이 서로 다른 무한대로 가므로, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac1x$ 자체는 존재하지 않는다.

검산. $x=0.001$을 대입하면 $\dfrac{1}{0.001}=1000$, $x=0.0001$을 대입하면 $10000$으로 값이 계속 커진다. $x=-0.001$을 대입하면 $-1000$으로 반대 방향으로 커진다.

연속의 정의

쉽게 말하면: 그래프를 그릴 때 연필을 종이에서 떼지 않고 이어 그릴 수 있는 지점이 연속인 지점이다.

정의

함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속(連續, continuous)이려면 다음 세 조건을 모두 만족해야 한다.

• 조건 ①: 그 지점에서 함수값 자체가 있어야 한다(정의역에 $a$가 포함되어야 한다)
• 조건 ②: 좌극한과 우극한이 존재하고 서로 같아야 한다
• 조건 ③: 극한값과 실제 함수값이 정확히 일치해야 한다

세 조건 중 하나라도 어긋나면 그 지점에서 불연속(不連續, discontinuous)이다. 앞서 조각함수 예시에서 $x=2$의 좌극한·우극한·함수값이 모두 $3$으로 일치했으므로, 그 함수는 $x=2$에서 연속이다.

불연속의 세 가지 유형

쉽게 말하면: 연속의 세 조건 중 어느 것이 깨졌는지에 따라 불연속을 세 가지 모양으로 나눌 수 있다.

제거가능 불연속 자세히 보기

$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$은 $x=1$에서 정의되지 않는다(분모가 $0$). 그런데 앞서 확인했듯 $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=2$는 존재한다. 즉 좌극한과 우극한이 둘 다 $2$로 같아서 극한은 있는데, 정작 $f(1)$이라는 값 자체가 없어서(조건 ①이 깨져서) 불연속이 되는 경우다.

이 경우 “구멍”은 $f(1)=2$라고 하나의 값만 새로 정의해주면 메울 수 있다. 그래서 이 불연속을 “제거할 수 있다(removable)“고 부른다. 실제로 $g(x)=x+1$이라는 함수는 $f(x)$와 $x=1$을 뺀 모든 점에서 완전히 같은 그래프를 그리면서 $x=1$에서도 매끄럽게 이어진다.

점프 불연속과 무한 불연속 구분하기

점프 불연속은 좌극한과 우극한이 둘 다 유한한 값으로 존재하지만 서로 다른 경우다(앞의 절댓값 예시: $-1$과 $1$). 무한 불연속은 좌극한이나 우극한 중 적어도 하나가 무한대로 발산하는 경우다(앞의 $1/x$ 예시). 두 경우 모두 조건 ②가 깨진다는 공통점이 있지만, “유한한 값끼리 다른가” 아니면 “아예 무한대로 치솟는가”로 구분한다는 점을 반드시 기억해야 한다.

극한·연속 판단 흐름

자주 틀리는 점

• 좌극한·우극한을 확인하지 않고 극한이 존재한다고 단정한다. 조각함수나 절댓값이 포함된 함수는 경계값에서 반드시 양쪽을 따로 계산해야 한다.
• 극한이 존재하면 그 지점에서 연속이라고 착각한다. 극한이 존재해도 함수값이 없거나(정의역 제외) 함수값과 다르면 불연속이다(제거가능 불연속이 이 경우다).
• $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$를 “극한이 존재한다”고 오해한다. $\infty$는 발산하는 모양을 알려주는 표기일 뿐, 실수 값으로 수렴한다는 뜻이 아니다.
• 조각함수의 경계값 $x=a$ 자체에서 어느 식을 써야 하는지 헷갈린다. 등호가 어느 구간에 붙어 있는지($x\geq a$인지 $x>a$인지)를 정확히 확인하고, 그 등호가 붙은 식으로 $f(a)$를 계산해야 한다.
• 점프 불연속과 무한 불연속을 혼동한다. 좌극한·우극한이 둘 다 유한한 값이면서 다르면 점프, 하나라도 무한대로 발산하면 무한 불연속이다.

핵심 정리

• 함수의 극한은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같을 때만 존재하며, 그 공통값이 극한값이다.
• 무한대 극한은 “$x$가 무한대로 갈 때”와 “$x$가 특정 값으로 갈 때 함수값이 무한대로 발산할 때”의 두 상황을 구분해서 다룬다.
• 연속은 (1) $f(a)$가 정의됨, (2) 극한이 존재함, (3) 극한값과 $f(a)$가 같음, 이 세 조건을 모두 만족해야 한다.
• 불연속은 어느 조건이 깨졌는지에 따라 제거가능·점프·무한의 세 유형으로 나뉜다.
• 계산한 극한값은 목표 지점에 아주 가까운 수를 대입해 근사값이 맞는지 검산하는 습관을 들인다.

마무리 복습

참고 자료

• 고등학교 미적분 공식·개념 정리 자료  — 함수의 극한, 좌극한·우극한, 연속의 정의와 불연속 유형을 체계적으로 재구성하는 데 참고
• 미적분 I 교재 요약: 극한과 연속의 기본 개념  — 극한의 엄밀한 정의와 연속 조건을 확인하는 데 참고