02편에서 함수의 개념·정의역·치역을 다뤘고, 04편에서 지수·로그·삼각함수의 기초 정의를 정리했다. 이 편은 그 지식을 바탕으로 시험에 실제로 나오는 함수 유형들을 그래프와 함께 정리하고, 함수를 합성하거나 뒤집는(역함수) 계산을 훈련한다.

다항함수

쉽게 말하면: $x$의 거듭제곱들을 더해서 만든 함수다.

다항함수(polynomial function, 여러 개의 항으로 이루어진 함수)는 다음과 같은 꼴이다.

• $n$: 최고차항의 차수(음이 아닌 정수)
• $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$: 각 항의 계수(coefficient, $x$ 앞에 곱해진 상수)
• $a_n \neq 0$: 최고차항 계수는 0이 아니어야 한다(0이면 차수가 실제로는 $n$보다 작아지기 때문)

다항함수의 정의역은 항상 실수 전체다 — 어떤 $x$를 넣어도 분모가 0이 되거나 근호 안이 음수가 되는 일이 없기 때문이다. 차수에 따라 그래프 모양이 정해진다. $n=1$이면 직선(일차함수), $n=2$이면 포물선(이차함수), $n=3$이면 S자 모양(삼차함수)이 기본형이다.

예시. $f(x) = x^2 - 4x + 3$의 그래프 꼭짓점을 구해 보자. 완전제곱식으로 바꾸면

• $(x-2)^2$: $x=2$일 때 0이 되는 항
• $-1$: 꼭짓점의 $y$좌표

이므로 꼭짓점은 $(2, -1)$이다. 검산: 원식에 $x=2$를 대입하면 $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$로 일치한다(검산 완료).

유리함수

쉽게 말하면: 분수 꼴로 되어 있어서, 분모를 0으로 만드는 $x$값은 정의역에서 빠진다.

유리함수(rational function, ratio 비율에서 온 이름 — 두 다항식의 비로 표현되는 함수)는 다항식을 다항식으로 나눈 꼴이다.

가장 기본적인 형태는 $f(x) = \dfrac{k}{x}$($k \neq 0$)이며, 이 그래프는 쌍곡선(hyperbola) 모양이고 원점을 지나지 않는다. 분모가 0이 되는 $x=0$은 정의역에서 반드시 제외해야 한다.

예시. $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$의 정의역을 구해 보자. 분모가 0이 되는 지점을 찾는다.

• $\implies$: “그러므로” (도출 기호)

따라서 정의역은 $x=1$을 제외한 모든 실수, 즉 $\{x \mid x \neq 1, x \in \mathbb{R}\}$이다.

이 함수의 그래프는 점근선(asymptote, 그래프가 한없이 가까워지지만 닿지는 않는 직선)을 갖는다. $\dfrac{2x+1}{x-1}$을 변형하면

• 분자를 $2(x-1) + 3$으로 다시 쓰면 분모 $(x-1)$과 겹치는 부분을 분리할 수 있다.

이 식에서 $x \to 1$이면 $\dfrac{3}{x-1}$이 한없이 커지거나 작아지므로 $x=1$이 수직점근선이고, $x \to \pm\infty$이면 $\dfrac{3}{x-1} \to 0$이 되어 $y=2$가 수평점근선이다.

검산: $x=2$를 원식과 변형식에 각각 대입한다. 원식은 $\dfrac{2(2)+1}{2-1} = \dfrac{5}{1} = 5$. 변형식은 $2 + \dfrac{3}{2-1} = 2+3 = 5$. 두 값이 일치한다(검산 완료).

무리함수

쉽게 말하면: 근호(제곱근) 안에 $x$가 들어 있는 함수로, 근호 안이 음수가 되면 안 되므로 정의역이 제한된다.

무리함수(irrational function, 근호를 포함해 유리식으로 나타낼 수 없는 함수)의 기본형은 $f(x) = \sqrt{ax+b}$다. 근호 안, 즉 근호 안의 식(radicand)은 0 이상이어야 실수 값이 나온다.

예시. $f(x) = \sqrt{2x-6}$의 정의역을 구해 보자.

따라서 정의역은 $\{x \mid x \geq 3\}$이다. 검산: $x=3$을 대입하면 $\sqrt{2(3)-6}=\sqrt{0}=0$으로 실수값이 나오고, $x=2$를 대입하면 $\sqrt{-2}$가 되어 실수 범위에서 정의되지 않는다 — 경계값 3이 정확히 맞다(검산 완료).

무리함수 $y=\sqrt{x}$의 그래프는 $y=x^2$($x \geq 0$ 부분)을 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 모양이다. 이 대칭 관계는 아래 역함수 절에서 다시 다룬다.

지수함수와 로그함수

쉽게 말하면: 지수함수는 밑을 고정하고 지수 자리에 변수를 넣은 함수이고, 로그함수는 그 반대로 뒤집은 함수다.

지수함수(exponential function)는 $f(x) = a^x$($a>0$, $a \neq 1$) 꼴이다. 밑 $a$가 1보다 크면 $x$가 커질수록 함숫값이 증가하고(증가함수), $0 < a < 1$이면 $x$가 커질수록 함숫값이 감소한다(감소함수). 정의역은 실수 전체, 치역은 항상 양수 전체($y>0$)다 — 어떤 실수를 지수로 넣어도 결과가 0 이하가 될 수 없기 때문이다. 그래프는 항상 점 $(0,1)$을 지나며, $x$축($y=0$)이 수평점근선이다.

로그함수(logarithmic function)는 지수함수의 역함수로 정의된다. $a>0$, $a\neq1$일 때

• $\log_a x$: “로그 밑이 에이인 엑스” — “$a$를 몇 제곱해야 $x$가 되는가”를 뜻하는 값

로그함수의 정의역은 양수 전체($x>0$, 진수 조건), 치역은 실수 전체다. 지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이므로 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이다. 로그함수의 그래프는 점 $(1,0)$을 지나며, $y$축($x=0$)이 수직점근선이다.

예시. $\log_2 8$을 계산해 보자. “2를 몇 제곱해야 8이 되는가”를 묻는 것이므로

검산: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$로 원래 식과 일치한다(검산 완료).

시험에 자주 나오는 로그 성질을 정리하면 다음과 같다($M, N>0$, $a>0$, $a\neq1$).

예시. $\log_2 6 + \log_2 \dfrac{4}{3}$을 계산해 보자. 곱셈 성질을 이용해 하나로 합친다.

검산: $\log_2 6 \approx 2.585$, $\log_2 \dfrac{4}{3} \approx 0.415$이고 두 값을 더하면 약 $3.000$이 되어 위 결과와 일치한다(검산 완료, 소수 셋째 자리에서 반올림).

합성함수

쉽게 말하면: 한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 그대로 넣는 것이다.

두 함수 $f$, $g$가 있을 때 합성함수(composite function)는 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$로 정의한다. $\circ$는 “합성”이라 읽으며, $g \circ f$는 ” $f$를 먼저 적용하고 그 결과에 $g$를 적용한다”는 뜻이다 — 읽는 순서와 계산 순서가 반대이므로 주의해야 한다.

예시. $f(x) = 2x+1$, $g(x) = x^2$일 때 $(g \circ f)(2)$를 구해 보자.

• 먼저 안쪽 함수 $f$에 $x=2$를 대입한다.

• $f(2)=5$의 결과를 바깥쪽 함수 $g$에 대입한다.

따라서 $(g\circ f)(2) = 25$다. 검산: 합성함수의 식 $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = (2x+1)^2$을 먼저 전개해서 $x=2$를 넣어도 같은 값이 나와야 한다. $(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1$이고 $x=2$를 대입하면 $4(4)+4(2)+1 = 16+8+1=25$로 일치한다(검산 완료).

주의: 일반적으로 $g \circ f \neq f \circ g$다. 같은 함수라도 합성 순서를 바꾸면 다른 함수가 되므로, 문제에서 $\circ$ 양쪽에 어떤 함수가 오는지 항상 정확히 확인해야 한다.

역함수

쉽게 말하면: 입력과 출력을 서로 맞바꾼 함수다.

함수 $f$가 일대일대응(bijection, 정의역의 서로 다른 원소가 치역의 서로 다른 원소로 대응하고 치역 전체를 빠짐없이 채우는 대응)일 때만 역함수(inverse function) $f^{-1}$가 존재한다. $f^{-1}$은 $f$가 만든 대응을 거꾸로 되짚는 함수로, 다음 관계가 성립한다.

역함수를 구하는 절차는 다음과 같다.

예시. $f(x) = 3x - 2$의 역함수를 구해 보자.

• 1단계: $y=f(x)$ 꼴로 둔다.

• 2단계: $x$와 $y$의 자리를 바꾼다.

• 3단계: 양변에 2를 더해 $y$가 있는 항만 남긴다.

• 3단계 계속: 양변을 3으로 나눠 $y$를 정리한다.

따라서 $f^{-1}(x) = \dfrac{x+2}{3}$이다.

검산: 역함수의 정의상 $f(f^{-1}(x)) = x$가 항상 성립해야 한다. $f^{-1}(x) = \dfrac{x+2}{3}$을 $f$에 대입하면

원래의 $x$가 그대로 나왔으므로 역함수가 맞다(검산 완료).

역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 것과 같다. 이는 $(a,b)$가 $f$의 그래프 위의 점이면 $(b,a)$가 $f^{-1}$의 그래프 위의 점이 되기 때문이다 — 좌표를 맞바꾸는 것은 기하적으로 직선 $y=x$에 대한 대칭이동과 같다.

자주 틀리는 점

• 유리함수·무리함수의 정의역을 확인하지 않고 계산부터 한다. 분모가 0이 되는 점, 근호 안이 음수가 되는 구간을 먼저 제외해야 한다.
• 합성함수의 순서를 반대로 계산한다. $(g\circ f)(x)$는 $f$를 먼저, $g$를 나중에 적용한다. 표기 순서와 계산 순서가 반대라는 점을 항상 의식해야 한다.
• 일대일대응이 아닌 함수에 역함수를 구하려 한다. 예를 들어 $f(x)=x^2$(정의역 전체)는 일대일대응이 아니므로 역함수가 존재하지 않는다. 정의역을 $x\geq0$으로 제한해야 역함수 $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$가 정의된다.
• 로그의 진수·밑 조건을 빠뜨린다. $\log_a x$는 $a>0$, $a\neq1$, $x>0$을 모두 만족해야 정의된다.
• 지수함수와 로그함수의 그래프가 지나는 고정점을 헷갈린다. 지수함수는 $(0,1)$, 로그함수는 $(1,0)$을 지난다.

핵심 정리

• 다항함수의 정의역은 항상 실수 전체다. 유리함수는 분모가 0인 점, 무리함수는 근호 안이 음수인 구간을 정의역에서 제외한다.
• 지수함수 $a^x$와 로그함수 $\log_a x$는 서로 역함수 관계이며 그래프는 $y=x$에 대해 대칭이다.
• 로그의 곱은 합으로, 나눗셈은 차로, 거듭제곱은 곱셈으로 바뀐다.
• $(g\circ f)(x) = g(f(x))$는 $f$를 먼저 적용하고 $g$를 나중에 적용한다.
• 역함수는 정의역과 치역을 맞바꾼 함수이며, 일대일대응인 함수만 역함수를 가진다.

마무리 복습

참고 자료

• 국가평생교육진흥원 독학학위제 시험안내 
• MathWorld - Exponential Function