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독학사독학사 1단계일반수학22. 독학사 일반수학 기출 1: 기본 유형 분석

이 편의 문제는 실제 독학사 기출을 그대로 복제한 것이 아닙니다. 국가평생교육진흥원이 공개한 일반수학 출제범위(집합·명제, 함수, 수열·급수, 극한·연속, 미분, 적분, 행렬·벡터)를 바탕으로 숫자와 상황을 새로 구성한 문항입니다. 실제 기출 문장을 암기하는 방식으로는 이 문제들을 풀 수 없고, 05~18편에서 배운 정의와 공식을 정확히 적용해야만 답이 나옵니다.

이 편이 다루는 범위

이 편은 05~18편에서 배운 정의와 기본 공식을 그대로 적용하면 풀리는 문제만 모았다. 복합 계산이나 시간 단축 전략은 다루지 않는다 — 그 부분은 24편에서 이어진다. 대신 여기서는 “공식을 정확히 기억하고 있는가”, “정의를 조건에 맞게 적용했는가”를 확인하는 데 집중한다.

푸는 순서는 이렇다. 먼저 스스로 풀고, 채점한 뒤 해설을 읽는다. 이 편의 해설에는 정답까지 가는 계산 전 과정과 함께, 오답 네 개 중 자신이 고른 것이 어떤 실수에서 나온 값인지까지 적어 두었다. 자신이 고른 오답의 해설을 읽었을 때 “아, 그 실수를 했구나”라고 즉시 알아챌 수 있어야 이 편을 제대로 소화한 것이다.

집합과 명제: 정의를 그대로 적용하기

이 유형은 이렇게 접근한다: 집합·명제 문제는 계산량이 적은 대신 정의를 정확히 아는지를 묻는다. “부분집합”과 “진부분집합”처럼 한 글자 차이로 답이 바뀌는 용어, “역·이·대우”처럼 방향이 바뀌는 명제 변형을 문제에서 정확히 짚어내는 연습이 핵심이다.

문제 14지선다
집합 A = {x | x는 10 이하의 자연수 중 3의 배수}일 때, A의 부분집합의 개수는?
문제 24지선다
전체집합 U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A = {1,2,3,4,5}, B = {3,4,5,6,7}일 때, A - B(차집합)는?
문제 34지선다
자연수 x에 대한 명제 p ⇒ q를 "x가 4의 배수이면 x는 2의 배수다"라고 하자. 이 명제의 대우로 옳은 것은?
문제 44지선다
실수 x에 대해 p: x = 2, q: x² = 4일 때, p는 q이기 위한 어떤 조건인가?

함수: 정의역·합성·역함수·판별식

이 유형은 이렇게 접근한다: 함수 문제는 “식을 계산하기 전에 조건부터 확인”하는 습관이 관건이다. 정의역은 분모가 0이 되는 값과 근호 안이 음수가 되는 값을 먼저 걸러내고, 합성함수는 반드시 안쪽 함수부터 계산하며, 판별식 문제는 부호와 부등호 방향을 마지막에 한 번 더 확인한다.

문제 54지선다
함수 f(x) = 1/(x² - 4)의 정의역은?
문제 64지선다
f(x) = 2x + 1, g(x) = x²일 때, (f∘g)(2)의 값은?
문제 74지선다
f(x) = 2x - 3의 역함수 f⁻¹(x)는?
문제 84지선다
이차방정식 x² - 4x + m = 0이 서로 다른 두 실근을 가지려면 m의 범위는?

수열과 급수: 공식에 값을 정확히 대입하기

이 유형은 이렇게 접근한다: 등차·등비수열은 일반항 공식 aₙ = a₁ + (n-1)d, aₙ = a₁ × r의 n승 마이너스 1승에서 “n-1”을 “n”으로 잘못 넣는 실수가 가장 흔하다. 합 공식도 마찬가지로 항의 개수와 지수를 항상 한 번 더 확인해야 한다.

문제 94지선다
첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열의 열 번째 항 a₁₀의 값은?
문제 104지선다
첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 다섯 번째 항 a₅의 값은?
문제 114지선다
첫째항이 5, 공차가 2인 등차수열의 첫째항부터 열 번째 항까지의 합 S₁₀의 값은?
문제 124지선다
첫째항이 4, 공비가 1/2인 등비급수의 합(무한합)은?

극한과 연속: 형태부터 확인하기

이 유형은 이렇게 접근한다: 분수식의 극한은 분자·분모의 최고차항 차수를 먼저 비교하고, 0/0 꼴이 나오면 반드시 인수분해나 유리화로 약분한 뒤 대입한다. 연속 문제는 “그 점에서의 극한값”과 “그 점에서의 함숫값”이 같은지를 따진다.

문제 134지선다
n이 한없이 커질 때(n → ∞), 수열 (3n² + 2n) / (n² + 1)의 극한값은?
문제 144지선다
x가 2에 한없이 가까워질 때(x → 2), (x² - 4) / (x - 2)의 극한값은?
문제 154지선다
함수 f(x) = (x² - 1) / (x - 1)(단, x ≠ 1)이고 f(1) = k라 하자. f가 x = 1에서 연속이 되도록 하는 k의 값은?

미분: 정의와 공식을 순서대로

이 유형은 이렇게 접근한다: 미분계수의 정의(극한을 이용한 정의)를 묻는 문제와, 이미 알려진 공식(거듭제곱의 미분, 곱·연쇄법칙)을 적용하는 문제를 구분해야 한다. 극값 문제는 f’(x) = 0인 지점을 찾은 뒤, 그 지점에서의 함숫값(f(x))을 구해야지 f’(x) 값 자체를 답으로 쓰면 안 된다.

문제 164지선다
f(x) = x²일 때, 미분계수의 정의를 이용해 구한 f'(3)의 값은?
문제 174지선다
f(x) = 3x³ - 5x² + 2x - 7일 때, f'(1)의 값은?
문제 184지선다
y = (2x + 1)³일 때, x = 0에서의 미분계수 y'(0)의 값은?
문제 194지선다
f(x) = x³ - 3x의 극솟값은?

적분: 공식 적용과 부호 처리

이 유형은 이렇게 접근한다: 부정적분은 지수를 하나 올린 뒤 반드시 그 새 지수로 나눠야 한다는 것을 잊지 않아야 하고, 정적분은 위끝 대입값에서 아래끝 대입값을 빼는 순서(위에서 아래를 뺀다)를 지켜야 한다.

문제 204지선다
∫(4x³ - 2x + 5) dx를 계산하면?
문제 214지선다
정적분 ∫[1, 2] 3x² dx의 값은?(적분구간은 1부터 2까지다)

행렬과 벡터: 성분 대응을 정확히

이 유형은 이렇게 접근한다: 행렬 곱셈은 “앞 행렬의 행”과 “뒤 행렬의 열”을 하나씩 곱해 더하는 규칙을 성분마다 다시 확인해야 한다. 행렬식은 2×2 행렬에서 대각선 곱의 차(ad - bc)를 구하는 것이므로 부호와 뺄셈 순서를 반드시 지킨다.

문제 224지선다
A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[0, 1], [1, 0]]일 때, 행렬 AB의 2행 1열 성분의 값은?
문제 234지선다
행렬 A = [[3, 5], [2, 4]]의 행렬식 값은?
문제 244지선다
두 벡터 a = (2, 3), b = (4, -1)의 내적 a·b의 값은?

자주 틀리는 점

  • 등차·등비수열 공식의 지수·계수 자리에 n 대신 n-1을 넣어야 하는데 n을 그대로 쓰는 실수가 가장 흔하다. 공식을 쓸 때마다 “몇 번째 항까지 이미 지나왔는가”를 소리 내어 확인한다.
  • 0/0 꼴 극한을 만나면 반드시 인수분해나 유리화로 먼저 약분해야 하며, x값을 그대로 대입해 0이라고 결론짓는 것은 오답이다.
  • 극값 문제에서 f’(x) = 0인 x를 찾은 것으로 끝내지 말고, 반드시 그 x를 원래 함수 f(x)에 다시 대입해 함숫값을 구해야 한다.
  • 부정적분에서 지수를 하나 올린 뒤 반드시 그 새 지수로 나누어야 하며, 나누는 단계를 빠뜨리면 계수가 원래 값 그대로 남는 오답이 된다.
  • 행렬 곱셈 AB와 BA는 일반적으로 서로 다른 행렬이므로 순서를 바꾸면 안 되고, 성분을 계산할 때도 “앞 행렬의 행”과 “뒤 행렬의 열”이 정확히 대응하는지 매번 확인한다.

참고 자료

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21. 단원 통합 연습문제 2: 적분·행렬·벡터23. 독학사 일반수학 기출 2: 시간을 줄이는 풀이법