이번 문서의 목표: 거리·속력·시간, 농도, 일의 양(일률), 나이·개수 문제를 보자마자 어떤 관계식을 세워야 하는지 판단하고, 미지수를 정하는 순간부터 검산까지 막히지 않고 풀 수 있게 된다.
왜 방정식을 직접 세워야 하는가
02편에서 방정식·부등식을 세우는 기본기와 비율·백분율·농도의 관계를 다뤘습니다. 이제 그 도구로 실제 문장제(word problem)를 풀 차례입니다. 응용수리 방정식 문제는 NCS 수리능력과 대기업 인적성 수리영역에서 거의 빠지지 않는 유형이며, 계산 자체는 사칙연산 수준이지만 문장을 식으로 바꾸는 과정에서 대부분 막힙니다. 식만 제대로 세우면 풀이는 기계적입니다.
쉽게 말하면: 이 유형은 계산력 시험이 아니라 번역 시험입니다. 한글 문장을 수식으로 옮기는 정확도가 점수를 가릅니다.
표준 절차 네 단계
어떤 소재든 아래 순서를 그대로 적용하면 됩니다.
- 무엇을 미지수로 둘지 정한다 — 문제가 최종적으로 묻는 값을 로 두는 것이 가장 안전합니다. 중간값을 로 두면 마지막에 답을 한 번 더 계산해야 해서 실수가 늘어납니다
- 소재별 표준 공식에 대입해 관계식을 세운다 — 아래에서 소재마다 그 공식을 다룹니다
- 방정식을 풀어 미지수 값을 구한다 — 02편에서 다룬 방정식 풀이 그대로입니다
- 답이 문제의 조건에 맞는지 검산한다 — 시간·거리·나이·개수는 음수가 나올 수 없습니다. 음수나 소수점 이하 사람 수가 나오면 식을 잘못 세운 것입니다
거리·속력·시간 문제
세 값의 관계는 다음 공식 하나로 정리됩니다.
이 식을 시간이나 속력에 대해 풀어 쓰면 , 이 됩니다. 셋 중 두 값을 알면 나머지 하나를 구하는 문제입니다.
손계산. 집에서 회사까지 거리는 12킬로미터입니다. 시속 4킬로미터로 걸어가면 몇 시간이 걸리는지 구해 봅시다.
같은 방향과 반대 방향 — 시험에 자주 나오는 함정. 두 사람이 동시에 출발할 때, 반대 방향으로 움직이면 두 사람 사이의 거리가 두 속력의 합만큼 매초 벌어지고, 같은 방향으로 한 사람이 다른 사람을 따라잡을 때는 두 속력의 차만큼 매초 좁혀집니다.
예제. A와 B가 같은 지점에서 반대 방향으로 동시에 출발합니다. A는 시속 5킬로미터, B는 시속 3킬로미터로 걷습니다. 두 사람 사이의 거리가 24킬로미터가 되는 데 걸리는 시간을 구합니다. 미지수를 시간 로 두면
해석: 반대 방향이므로 두 속력을 더한 시속 8킬로미터가 “두 사람 사이의 거리가 벌어지는 속력”입니다. 이 속력으로 24킬로미터가 벌어지는 데 3시간이 걸린다는 뜻입니다.
자주 틀리는 점: 단위를 맞추지 않는 실수가 가장 흔합니다. 속력이 시속(km/h)인데 시간이 분 단위로 주어지면 반드시 시간 단위로 통일한 뒤 대입해야 합니다.
농도 문제
농도(concentration)는 전체 용액 중 용질이 차지하는 비율입니다.
이 식에서 용질의 양 라는 관계를 뽑아낼 수 있고, 이 값이 문제 풀이의 핵심 축이 됩니다. 소금물을 섞거나 물을 더하거나 증발시켜도 소금(용질)의 양은 그 조작 전후로 보존된다는 점을 이용해 식을 세웁니다.
예제. 농도 10퍼센트인 소금물 200그램에 물을 더 부어 농도 4퍼센트인 소금물을 만들려고 합니다. 더 부어야 할 물의 양을 구합니다.
1단계 — 처음 소금의 양을 구한다.
2단계 — 물을 더한 뒤에도 소금의 양은 그대로 20그램이라는 사실을 이용해 방정식을 세운다. 더할 물의 양을 그램이라 하면, 물을 더한 뒤 전체 용액의 양은 그램입니다.
3단계 — 방정식을 푼다.
해석: 소금 20그램은 그대로 두고 물만 300그램을 더 부으면 전체 용액 500그램 중 소금이 20그램이 되어 농도가 4퍼센트(20÷500×100)로 낮아집니다.
자주 틀리는 점: 물을 더할 때 “소금의 양이 변한다”고 착각하는 실수, 또는 두 소금물을 섞는 문제에서 농도끼리 평균을 내면 된다고 착각하는 실수가 흔합니다. 양이 다른 두 소금물을 섞을 때는 반드시 각 소금물의 소금의 양을 따로 구해 더한 뒤, 합친 용액의 양으로 나눠야 합니다.
일의 양(일률) 문제
전체 일의 양을 1로 놓고, 한 사람이 일을 끝내는 데 걸리는 시간을 알면 그 사람의 일률(단위 시간당 처리하는 일의 양)은 다음과 같습니다.
여러 사람이 함께 일하면 일률을 더해서 합니다.
예제. 이 일을 혼자 하면 A는 6일, B는 12일이 걸립니다. 두 사람이 함께 하면 며칠 만에 끝낼까요?
1단계 — 각자의 일률.
2단계 — 함께 일할 때 하루에 처리하는 일의 양.
3단계 — 걸리는 날짜. 하루에 전체의 을 처리하므로 전체 일을 끝내는 데 걸리는 날짜는 그 역수입니다.
해석: 혼자 하면 A가 6일, B가 12일 걸리던 일을 함께 하면 4일로 줄어듭니다. 항상 둘 중 더 빠른 사람의 시간보다는 짧아지고, 두 시간의 절반보다는 김을 어림으로 확인할 수 있습니다(6일과 12일 사이에서 4일은 6일에 더 가까운데, 이는 A의 속도가 더 빠르기 때문입니다).
자주 틀리는 점: 걸리는 날짜끼리 바로 더하거나 평균 내는 실수, 즉 “6일과 12일이니 평균 9일”이라고 계산하는 것은 틀립니다. 반드시 일률(속도)을 더한 뒤 역수를 취해야 합니다.
나이·개수 문제
나이·개수 문제는 “현재-과거-미래”를 표로 정리하면 실수가 크게 줄어듭니다.
예제. 현재 아버지의 나이는 아들의 나이의 3배입니다. 5년 후에는 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배가 됩니다. 현재 아들의 나이를 구합니다.
미지수를 현재 아들의 나이 로 둡니다(문제가 최종적으로 묻는 값이므로).
| 구분 | 아들 | 아버지 |
|---|---|---|
| 현재 | ||
| 5년 후 |
5년 후 조건을 방정식으로 세우면
검산: 현재 아들 5세, 아버지 15세(3배 성립). 5년 후 아들 10세, 아버지 20세, 정확히 2배입니다.
자주 틀리는 점: “5년 후”를 아들에게만 더하고 아버지에게는 더하지 않는 실수, 또는 표를 그리지 않고 암산으로 처리하다가 배수 조건을 잘못 적용하는 실수가 흔합니다. 인원수·개수 문제도 같은 방식으로, “처음-이동 후” 표를 그려 조건을 하나씩 채우면 됩니다.
핵심 정리
- 방정식 활용 문제는 문제가 최종적으로 묻는 값을 미지수로 두는 것에서 시작한다.
- 거리·속력·시간은 하나에서 파생되며, 반대 방향은 속력의 합, 같은 방향 추월은 속력의 차로 계산한다.
- 농도 문제는 용질(소금)의 양이 조작 전후 보존된다는 사실을 이용해 방정식을 세운다. 농도끼리 평균을 내면 안 된다.
- 일의 양 문제는 전체 일을 1로 놓고 일률(속도)을 더한 뒤 역수를 취해 걸리는 시간을 구한다. 걸리는 날짜를 바로 평균 내면 안 된다.
- 나이·개수 문제는 현재·미래(과거)를 표로 정리하면 조건을 빠뜨리지 않는다.
- 풀이의 마지막에는 항상 검산한다. 시간·거리·나이·개수가 음수이거나 소수점이 나오면 식이 잘못된 것이다.