지난 편 복습: 극한에서 미분으로

11편에서 함수의 극한과 연속을, 12편에서 $\dfrac00$ 꼴 극한을 인수분해·유리화·치환으로 계산하는 절차를 배웠다. 이번 편에서 다루는 미분(微分, differentiation)은 사실 극한의 한 가지 특별한 활용이다. 미분은 “함수가 한 점에서 얼마나 가파르게 변하는가”를 극한을 이용해 숫자 하나로 정확히 표현하는 도구다. 12편에서 익힌 $\dfrac00$ 꼴 극한 계산 기술은 이번 편의 미분계수 정의를 실제로 계산할 때 그대로 재사용된다.

평균변화율: 미분의 출발점

쉽게 말하면: 두 점 사이를 이은 직선(할선)의 기울기가 평균변화율이다.

왜 필요한가

자동차가 $2$시간 동안 $120\text{km}$를 이동했다면 평균 속도는 시속 $60\text{km}$다. 그런데 이 $60\text{km/h}$는 “평균”일 뿐, 출발 직후나 도착 직전의 그 순간 속도는 이보다 빠를 수도 느릴 수도 있다. 이렇게 “구간 전체에 걸친 평균적인 변화”와 “어느 한 순간의 변화”를 구분하려는 것이 미분의 출발점이다.

정의

함수 $f(x)$에서 $x$가 $a$에서 $a+h$로 변할 때의 평균변화율(average rate of change)은 다음과 같다.

• $a$: 시작하는 $x$값
• $h$: $x$가 변한 양(증분, increment). 양수일 수도 음수일 수도 있다
• $f(a+h)-f(a)$: $y$값이 변한 양
• 분자를 분모로 나눈 전체 식은 “$y$가 변한 양 나누기 $x$가 변한 양”, 즉 변화의 비율이다

그래프 위에서 이 값은 두 점 $(a, f(a))$와 $(a+h, f(a+h))$를 잇는 직선(할선, secant line)의 기울기와 정확히 같다.

계산 예시

$f(x) = x^2$에서 $a=1$, $h=2$일 때의 평균변화율을 구해보자.

• $f(3) = 3^2 = 9$, $f(1)=1^2=1$

$x=1$에서 $x=3$으로 변하는 동안 $y$는 평균적으로 $x$가 $1$ 늘어날 때마다 $4$씩 늘어난 셈이다.

미분계수: 순간변화율

쉽게 말하면: 평균변화율에서 구간의 폭 $h$를 한없이 $0$에 가깝게 줄이면, “그 순간”의 변화율이 나온다. 이것이 미분계수다.

정의

함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수(微分係數, derivative at a point)는 평균변화율의 $h \to 0$ 극한으로 정의된다.

• $f'(a)$: “에프 프라임 에이”, $f$를 미분해서 $x=a$에 대입한 값
• $h \to 0$: 구간의 폭을 한없이 $0$에 가깝게 줄인다는 뜻(단, $h=0$ 자체는 대입하지 않는다 — 분모가 $0$이 되어 정의되지 않기 때문이다)
• 이 극한이 존재할 때 $f$는 $x=a$에서 미분가능(differentiable)하다고 말한다

이 정의는 정확히 12편에서 다룬 $\dfrac00$ 꼴 극한이다. $h \to 0$일 때 분자 $f(a+h)-f(a)$도 $0$에 가까워지고 분모 $h$도 $0$에 가까워지므로, 직접 대입하면 $\dfrac00$이 나온다. 그래서 미분계수를 정의대로 계산할 때는 반드시 분자를 정리해 $h$라는 공통인수를 약분하는 절차를 거쳐야 한다 — 12편의 인수분해 기법이 그대로 쓰이는 지점이다.

비유: 평균변화율이 “서울에서 부산까지 평균 속도”라면, 미분계수는 “지금 이 순간 계기판에 찍히는 속도”다. 계기판 속도는 이동한 거리를 이동한 시간으로 나눈 것인데, 그 시간 구간을 한없이 짧게 줄여나간 극한값이 바로 그 순간의 속도다.

계산 예시: 정의로 직접 미분계수 구하기

$f(x)=x^2$의 $x=1$에서의 미분계수를 정의대로 계산해보자.

1단계 — 분자를 전개한다. $(1+h)^2 = 1+2h+h^2$이므로

2단계 — 분자에서 공통인수 $h$를 뽑아 약분한다.

3단계 — $h=0$을 대입한다.

따라서 $f'(1) = 2$다.

검산. $h=0.01$을 정의식에 직접 대입하면 $\dfrac{(1.01)^2-1}{0.01} = \dfrac{1.0201-1}{0.01} = \dfrac{0.0201}{0.01}=2.01$로 $2$에 매우 가깝다. $h=-0.01$을 대입하면 $\dfrac{(0.99)^2-1}{-0.01}=\dfrac{0.9801-1}{-0.01}=\dfrac{-0.0199}{-0.01}=1.99$로 역시 $2$에 근접한다.

접선의 기울기라는 의미

쉽게 말하면: 미분계수 $f'(a)$는 그래프 위의 점 $(a, f(a))$에서 그 곡선에 딱 붙게 그은 접선의 기울기와 같다.

평균변화율이 두 점을 잇는 할선의 기울기였다면, $h \to 0$으로 두 점이 한없이 가까워지면 할선은 한 점에서 곡선에 닿는 접선(接線, tangent line)으로 변해간다. 이것이 미분계수를 기하학적으로 해석하는 방법이다.

이 해석을 이용하면 $x=1$에서 $f(x)=x^2$에 접하는 접선의 방정식도 바로 구할 수 있다. 접선은 점 $(1, f(1)) = (1,1)$을 지나고 기울기가 $f'(1)=2$인 직선이므로, 직선의 방정식 $y-y_1 = m(x-x_1)$을 이용하면

이 접선은 $x=1$ 근처에서 원래 곡선 $y=x^2$와 거의 겹쳐 보일 만큼 딱 붙어 있다.

도함수: 모든 점에서의 미분계수를 한꺼번에

쉽게 말하면: 특정 점 하나가 아니라 $x$ 자리에 아무 값이나 넣을 수 있게 만든 미분계수의 일반화가 도함수다.

$f'(a)$가 “점 $a$ 하나에서의” 미분계수였다면, $a$ 대신 변수 $x$를 그대로 남겨 함수 형태로 만든 것이 도함수(導函數, derivative function) $f'(x)$다.

도함수를 한 번 구해두면, 이후에는 특정 $x$값을 대입하기만 하면 그 점에서의 미분계수를 바로 얻을 수 있다. 앞으로 소개하는 “기본 미분 공식”은 모두 이 정의식으로부터 유도된 도함수 결과를 미리 정리해둔 것이다.

다항함수의 기본 미분 공식

쉽게 말하면: $x^n$ 꼴은 지수를 앞으로 끌어내리고 지수를 하나 줄이면 미분이 끝난다.

• $n$: 지수(거듭제곱의 횟수), 실수 전체에서 성립한다
• 지수를 계수 자리로 끌어내리고, 원래 지수에서 $1$을 뺀 것이 새 지수가 된다

상수함수와 상수배, 합의 미분은 다음 성질을 따른다.

• $c$는 상수(변하지 않는 값)이므로 미분하면 $0$이다(변화율이 없다)
• 상수배는 미분 밖으로 그대로 꺼낼 수 있다
• 합의 미분은 각 항을 따로 미분해서 더한 것과 같다

계산 예시

$f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$을 미분하자. 각 항에 위 공식을 그대로 적용한다.

• $3x^4$의 미분: 지수 $4$를 앞으로 끌어내려 $3 \times 4 x^{4-1} = 12x^3$
• $-2x^2$의 미분: $-2 \times 2x^{2-1} = -4x$
• $5x$의 미분: $x^1$의 미분은 $1 \times x^0 = 1$이므로 $5 \times 1 = 5$
• $-7$의 미분: 상수이므로 $0$

검산 — 정의식으로 한 점을 확인한다. $x=1$에서 도함수 공식으로 구한 값은 $f'(1) = 12(1)-4(1)+5 = 13$이다. 정의식으로도 확인해보자. $f(1)=3-2+5-7=-1$이고, $h=0.001$일 때 $f(1.001) = 3(1.001)^4 - 2(1.001)^2 + 5(1.001) - 7$을 계산하면 $(1.001)^4\approx1.004006$, $(1.001)^2\approx1.002001$이므로 $f(1.001)\approx 3(1.004006)-2(1.002001)+5.005-7 = 3.012018-2.004002+5.005-7=0.013016$이다. 따라서 $\dfrac{f(1.001)-f(1)}{0.001} = \dfrac{0.013016-(-1)}{0.001} = \dfrac{1.013016}{0.001}=13.016$로 공식으로 구한 $13$에 매우 가깝다.

지수함수의 미분

쉽게 말하면: 밑이 $e$인 지수함수 $e^x$는 미분해도 자기 자신 그대로다. 밑이 다른 지수함수는 $\ln$(자연로그)이 곱해진다.

• $e$: 자연상수(自然常數, Euler’s number), 약 $2.71828\ldots$인 특별한 무한소수. $e^x$의 접선 기울기가 그 점의 함숫값과 항상 똑같아지는 유일한 밑이라는 성질 때문에 미적분에서 가장 자연스러운 밑으로 쓰인다
• $\ln a$: “로그 내추럴 에이”, 밑이 $e$인 로그 $\log_e a$를 줄여 쓰는 표기(자연로그)
• $a$는 밑(base)이며 $a>0,\ a\neq1$이어야 한다

$e^x$가 미분해도 변하지 않는다는 성질은 지수함수를 미적분에서 가장 다루기 쉬운 함수로 만들어준다. 예를 들어 $f(x)=5e^x$를 미분하면 상수배 규칙에 따라 $f'(x)=5e^x$로, 형태가 그대로 유지된다.

로그함수의 미분

쉽게 말하면: 자연로그 $\ln x$를 미분하면 $\dfrac1x$가 된다.

• $\ln x$는 $x>0$에서만 정의되므로, 미분한 결과 $\dfrac1x$도 $x>0$ 범위에서만 의미가 있다

계산 예시

$f(x) = 4\ln x$를 미분하면 상수배 규칙에 따라

$x=2$에서의 미분계수는 $f'(2) = \dfrac42 = 2$다. 검산. $h=0.001$일 때 $f(2.001) = 4\ln(2.001)$이고 $\ln(2.001)\approx0.693647$이므로 $f(2.001)\approx2.774588$이다. $f(2)=4\ln2\approx4(0.693147)=2.772589$이므로 $\dfrac{f(2.001)-f(2)}{0.001}\approx\dfrac{2.774588-2.772589}{0.001}=\dfrac{0.001999}{0.001}\approx1.999$로 공식값 $2$에 매우 가깝다.

삼각함수의 미분

쉽게 말하면: $\sin x$를 미분하면 $\cos x$, $\cos x$를 미분하면 $-\sin x$다. 이 둘은 서로를 낳고 부호만 바뀌며 되돌아온다.

• $\sin x$(사인): 단위원에서 각 $x$에 대응하는 점의 $y$좌표
• $\cos x$(코사인): 단위원에서 각 $x$에 대응하는 점의 $x$좌표
• $\tan x$(탄젠트): $\dfrac{\sin x}{\cos x}$로 정의되며, $\cos x=0$인 지점에서는 정의되지 않는다

$\cos x$를 미분하면 $-\sin x$로 음의 부호가 붙는다는 점이 가장 흔히 놓치는 부분이다. $\sin x$를 한 번 더 미분하면 $\cos x$가 나오고, $\cos x$를 한 번 더 미분하면 $-\sin x$가 나오며, 이를 계속하면 $\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$로 네 번 미분할 때마다 원래 함수로 돌아오는 순환 구조를 이룬다.

계산 예시

$f(x) = 3\sin x + \cos x$를 미분하면

$x=0$에서의 미분계수는 $f'(0) = 3\cos0 - \sin0 = 3(1)-0=3$이다.

연쇄법칙 기초 (chain rule)

쉽게 말하면: 함수 안에 함수가 들어 있는 합성함수는, “바깥을 먼저 미분하고 안쪽을 그대로 둔 것”에 “안쪽을 미분한 것”을 곱한다.

왜 필요한가

$(3x+1)^2$을 미분하고 싶다고 하자. 이 식은 “$3x+1$이라는 안쪽 함수”를 “제곱하는 바깥 함수”에 넣은 합성함수(合成函數, composite function)다. 물론 이 예시는 전개해서 $9x^2+6x+1$로 만든 뒤 다항함수 공식으로 미분할 수도 있지만, $(3x+1)^{10}$처럼 전개가 현실적으로 어려운 경우에는 전개 없이 미분하는 방법이 반드시 필요하다.

정의와 공식

$y=f(u)$이고 $u=g(x)$일 때(즉 $y=f(g(x))$일 때), 다음이 성립한다.

• $\dfrac{dy}{du}$: 바깥 함수 $f$를 안쪽 변수 $u$에 대해 미분한 것
• $\dfrac{du}{dx}$: 안쪽 함수 $g$를 $x$에 대해 미분한 것
• 두 도함수를 곱한다는 것이 연쇄법칙의 핵심이다. 마치 사슬(chain)의 고리 두 개가 이어지듯, $x$의 변화가 $u$를 거쳐 $y$까지 전달되는 비율을 두 단계로 쪼개 곱하는 것이다

함수 표기로는 $y=f(g(x))$의 도함수를 다음과 같이도 쓴다.

• $f'(g(x))$: 바깥 함수를 미분한 뒤, 안쪽 함수 $g(x)$를 그대로 대입한 것(“바깥 미분, 안쪽 그대로”)
• $g'(x)$: 안쪽 함수를 미분한 것

비유: 자동차 바퀴가 $1$바퀴 돌 때 기어가 $3$바퀴 돌고, 기어가 $1$바퀴 돌 때 엔진 축이 $2$바퀴 돈다면, 바퀴가 $1$바퀴 돌 때 엔진 축은 $3\times2=6$바퀴 돈다. 중간 단계(기어)를 거쳐 전달되는 비율들을 곱하는 것이 연쇄법칙과 똑같은 구조다.

계산 예시

$f(x) = (3x+1)^2$을 연쇄법칙으로 미분하자. $u = 3x+1$(안쪽), $y=u^2$(바깥)로 둔다.

1단계 — 바깥 함수를 안쪽 변수 $u$에 대해 미분한다. $y=u^2$이므로 $\dfrac{dy}{du} = 2u$

2단계 — 안쪽 함수를 $x$에 대해 미분한다. $u=3x+1$이므로 $\dfrac{du}{dx} = 3$

3단계 — 두 도함수를 곱한다.

4단계 — $u$를 원래 식 $3x+1$로 되돌린다.

검산 — 전개해서 직접 미분한 결과와 비교한다. $(3x+1)^2 = 9x^2+6x+1$을 다항함수 공식으로 미분하면 $f'(x) = 18x+6$이 되어, 연쇄법칙으로 구한 결과와 정확히 일치한다.

계산 예시: 지수함수와의 결합

$f(x) = e^{2x}$를 미분하자. $u=2x$(안쪽), $y=e^u$(바깥)로 둔다.

검산. $x=0$에서 공식값은 $f'(0) = 2e^0 = 2$다. 정의식으로 $h=0.001$일 때 $f(0.001)=e^{0.002}\approx1.002002$, $f(0)=e^0=1$이므로 $\dfrac{f(0.001)-f(0)}{0.001} \approx \dfrac{0.002002}{0.001}=2.002$로 공식값 $2$에 매우 가깝다.

기본 미분 공식 모음

자주 틀리는 점

• $\cos x$의 미분에서 음의 부호를 빠뜨린다. $(\cos x)' = -\sin x$이지 $\sin x$가 아니다. $\sin$과 $\cos$가 서로 미분·적분 관계로 순환한다는 것을 외울 때 부호까지 함께 외워야 한다.
• 미분계수(한 점에서의 숫자)와 도함수(함수 전체)를 혼동한다. $f'(1)$은 특정 숫자이고 $f'(x)$는 $x$ 자리에 아무 값이나 넣을 수 있는 함수다. 도함수를 구한 뒤 특정 값을 대입해야 미분계수가 나온다.
• 연쇄법칙에서 안쪽 함수의 도함수를 곱하는 것을 빠뜨린다. $(3x+1)^2$을 미분할 때 $2(3x+1)$까지만 쓰고 안쪽 $3x+1$을 미분한 $3$을 곱하지 않으면 틀린다. “바깥 미분 곱하기 안쪽 미분”에서 곱하는 부분을 반드시 확인한다.
• $a^x$과 $x^a$를 혼동해 미분 공식을 잘못 적용한다. $a^x$(지수가 변수)은 $a^x\ln a$로 미분하고, $x^a$(밑이 변수)는 $ax^{a-1}$로 미분한다. 변수가 밑에 있는지 지수에 있는지를 먼저 확인해야 한다.
• 미분계수의 정의식에서 $h=0$을 바로 대입해 $\dfrac00$을 보고 계산을 포기한다. 정의식은 반드시 분자를 전개·정리해 $h$라는 공통인수를 약분한 뒤에 $h=0$을 대입해야 한다(12편의 인수분해 절차와 동일한 발상).

핵심 정리

• 미분계수 $f'(a)$는 평균변화율 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$의 $h\to0$ 극한이며, 기하학적으로는 $x=a$에서의 접선의 기울기다.
• 도함수 $f'(x)$는 미분계수를 모든 $x$에 대해 일반화한 함수다.
• 다항함수는 $(x^n)'=nx^{n-1}$, 지수함수는 $(e^x)'=e^x$, 로그함수는 $(\ln x)'=1/x$, 삼각함수는 $(\sin x)'=\cos x$와 $(\cos x)'=-\sin x$를 기본 공식으로 쓴다.
• 연쇄법칙은 합성함수를 “바깥 미분 곱하기 안쪽 미분”으로 처리하며, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$로 쓴다.
• 공식으로 구한 도함수는 정의식에 작은 $h$ 값을 대입해 근삿값이 맞는지, 또는 전개 후 직접 미분한 결과와 일치하는지 검산한다.

마무리 복습

참고 자료

• 미적분 I 교재 요약 PDF  — 미분계수의 정의, 평균변화율과의 관계, 미분의 기하적 의미 확인에 참고
• 고등학교 미적분 공식·개념 정리 자료  — 다항·지수·로그·삼각함수의 기본 미분 공식과 연쇄법칙을 재구성하는 데 참고