왜 벤다이어그램 문제가 나오는가

01편에서 명제 기호와 벤다이어그램을 그리는 법 자체를 다뤘고, 15편에서는 “p이면 q이다” 형태의 조건문과 삼단논법의 타당성을 다뤘습니다. 이 편은 그 두 가지를 합쳐, “모든·어떤·어떤도 아닌”으로 표현되는 범주 명제를 벤다이어그램으로 그려서 실제 인원수까지 계산하는 문제를 다룹니다.

NCS와 인적성에는 “회사원 중 어떤 사람은 영어를 잘하고, 영어를 잘하는 사람은 모두 승진 시험에 유리하다” 같은 여러 조건을 준 뒤, 특정 결론이 반드시 참인지 묻는 문제와 “두 조건을 모두 만족하는 사람은 최소 몇 명인가”를 묻는 계산 문제가 함께 나옵니다. 두 유형 모두 벤다이어그램에 조건을 정확히 겹쳐 그리는 능력이 핵심입니다.

쉽게 말하면: 집합추리는 여러 개의 원(집합)을 조건에 맞게 겹쳐 그린 다음, 그 그림만 보고 답을 읽어내는 문제입니다.

1. 범주 명제 세 가지를 그림으로 표현하기

자주 틀리는 점: “어떤 A는 B이다”를 “딱 일부만 A이면서 B이고, 나머지 A는 B가 아니다”라고 확대 해석하는 실수가 많습니다. “어떤”은 논리적으로 최소 하나 이상 존재한다는 뜻일 뿐, 전부일 수도 있고 정확히 일부일 수도 있습니다. “모든 A는 B이다”도 “어떤 A는 B이다”를 항상 만족시킵니다.

2. 여러 조건을 하나의 벤다이어그램에 겹쳐 그리기

두 집합의 인원 공식

두 집합 A, B가 겹칠 때 전체 인원은 각 집합의 인원을 단순히 더하면 겹친 부분이 두 번 세어집니다. 이를 보정한 공식이 포함-배제의 원리입니다.

• $|A|$: 집합 A의 원소 개수(A에 속하는 인원)
• $|A \cup B|$: A 또는 B에 속하는 인원(합집합)
• $|A \cap B|$: A와 B에 모두 속하는 인원(교집합)

해석: $|A|+|B|$를 그대로 더하면 교집합에 속한 사람이 두 번 더해지므로, 한 번을 다시 빼줘야 실제 합집합 인원이 됩니다.

세 집합으로 확장하기

세 집합 A, B, C가 있으면 겹치는 구간이 더 복잡해집니다. 안쪽부터 순서대로 채워나가는 것이 핵심입니다.

세 집합의 합집합 공식은 다음과 같습니다.

계산 예시. 전체 100명에게 설문했더니 커피(A)를 좋아하는 사람 50명, 차(B)를 좋아하는 사람 40명, 주스(C)를 좋아하는 사람 30명이었습니다. 커피와 차를 모두 좋아하는 사람 15명, 차와 주스를 모두 좋아하는 사람 10명, 커피와 주스를 모두 좋아하는 사람 12명, 세 가지를 모두 좋아하는 사람 5명입니다. 세 음료 중 하나라도 좋아하는 사람은 몇 명일까요.

해석: 88명이 적어도 하나를 좋아하므로, 아무것도 좋아하지 않는 사람은 100−88=12명입니다. 세 개를 모두 더하고 두 개씩 겹치는 부분을 빼고 나면 세 집합이 다 겹치는 부분은 세 번 더해졌다가 세 번 빠져서 아예 사라져 버립니다. 그래서 마지막에 한 번 다시 더해줘야 정확한 값이 나옵니다. 이 부호(+, −, +)의 이유를 이해하면 공식을 암기하지 않아도 스스로 유도할 수 있습니다.

3. 참·거짓·알 수 없음 판단하기

판단 기준

여러 조건이 주어지고 하나의 결론 문장이 제시되면, 그 결론을 아래 세 가지 중 하나로 분류합니다.

• 참: 주어진 조건을 만족하는 모든 가능한 경우에서 결론이 항상 성립한다
• 거짓: 주어진 조건을 만족하는 모든 가능한 경우에서 결론이 항상 성립하지 않는다
• 알 수 없음: 조건을 만족하면서 결론이 성립하는 경우도 있고 성립하지 않는 경우도 있다

쉽게 말하면: 조건에 맞는 벤다이어그램을 이리저리 다르게 그려봐도 결론이 매번 똑같이 나오면 참 또는 거짓이고, 그릴 때마다 결과가 달라지면 알 수 없음입니다.

예시 — 참으로 판단되는 경우

조건: “어떤 학생은 야구를 좋아한다”(A는 비어 있지 않음), “야구를 좋아하는 학생은 모두 축구도 좋아한다”($A \subseteq B$, 즉 A는 B 안에 완전히 포함).

결론: “어떤 학생은 축구를 좋아한다”

판단: A가 비어 있지 않고(최소 한 명 존재) A 전체가 B 안에 들어있으므로, A에 속한 그 학생은 반드시 B에도 속합니다. 따라서 B도 비어 있지 않습니다. 벤다이어그램을 어떻게 다르게 그려봐도 이 결론은 항상 성립하므로 참입니다.

예시 — 알 수 없음으로 판단되는 경우

같은 조건에서 “모든 학생이 축구를 좋아한다”라는 결론을 봅시다.

판단: 축구를 좋아하는 학생 집합(B)이 야구를 좋아하는 학생(A)을 포함한다는 것만 알 뿐, B가 전체 학생과 정확히 같은 크기인지는 전혀 알 수 없습니다. B가 전체 학생 전부일 수도 있고, 축구도 야구도 싫어하는 학생이 따로 있을 수도 있습니다. 두 경우 모두 원래 조건과 모순되지 않으므로 알 수 없음입니다.

같은 조건에서 “어떤 학생은 야구를 좋아하지 않는다”라는 결론도 마찬가지입니다. 야구를 좋아하는 학생 집합(A)이 전체 학생과 정확히 같을 수도 있고(이 경우 이 결론은 거짓), 더 작을 수도 있으므로(이 경우 참) 조건만으로는 어느 쪽인지 확정할 수 없어 알 수 없음입니다.

자주 틀리는 점: “그럴듯하게 느껴진다”는 이유로 알 수 없음을 참으로 잘못 판단하는 경우가 가장 흔합니다. 반드시 반례(조건은 만족하지만 결론이 깨지는 경우)가 하나라도 그려지는지를 직접 확인해야 합니다. 이는 15편에서 다룬 삼단논법 타당성 검증과 완전히 같은 논리입니다.

4. 최소·최대 인원 계산형 문제

왜 최소와 최대를 따로 묻는가

“두 조건을 모두 만족하는 사람은 정확히 몇 명인가”는 정보가 부족하면 답할 수 없습니다. 대신 “최소 몇 명 이상”, “최대 몇 명까지”를 묻는 문제가 많이 나옵니다. 전체 인원과 각 집합의 인원만으로도 교집합의 범위를 논리적으로 좁힐 수 있기 때문입니다.

교집합의 최댓값

이유: 교집합은 A에도 속하고 B에도 속해야 하므로, 둘 중 원소 수가 더 적은 집합의 크기를 넘을 수 없습니다.

교집합의 최솟값

이유: A와 B를 최대한 겹치지 않게 벌려놔도, $|A|+|B|$가 전체 인원보다 크면 그 초과분만큼은 어쩔 수 없이 겹칠 수밖에 없습니다. 초과분이 없으면(즉 $|A|+|B|$가 전체 이하이면) 전혀 겹치지 않게 배치할 수 있으므로 최솟값은 0입니다.

계산 예시

전체 50명 중 영어를 잘하는 사람(A)이 30명, 수학을 잘하는 사람(B)이 25명입니다. 두 과목을 모두 잘하는 사람은 최소 몇 명이고 최대 몇 명일까요.

최댓값 계산

최솟값 계산

해석: 두 과목을 모두 잘하는 사람은 최소 5명에서 최대 25명 사이입니다. 최대 25명이 되는 경우는 수학을 잘하는 사람 25명 전원이 영어도 잘하는 경우이고, 최소 5명이 되는 경우는 영어를 잘하는 30명과 수학을 잘하는 25명을 최대한 겹치지 않게 배치했을 때, 30+25=55가 전체 50명을 5명 초과하는 만큼은 반드시 겹쳐야 하는 경우입니다.

자주 틀리는 점: 최솟값 공식에서 뺄셈 결과가 음수가 나올 수 있다는 것을 놓치는 경우가 있습니다. 예를 들어 A가 20명, B가 15명, 전체가 50명이면 20+15−50=−15로 음수가 나오는데, 이때 최소 교집합은 음수가 아니라 0입니다. 인원수가 음수일 수는 없으므로 항상 0과 비교해 더 큰 값을 답으로 선택해야 합니다.

핵심 정리

• 모든 A는 B이다는 A가 B 안에 완전히 포함, 어떤 A는 B이다는 일부 겹침(최소 하나 존재), 어떤 A도 B가 아니다는 전혀 겹치지 않음으로 그린다.
• 두 집합의 합집합은 $\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert$이며, 세 집합은 두 개씩 겹치는 부분을 빼고 세 개가 다 겹치는 부분을 다시 더한다.
• 세 집합 문제는 가장 안쪽(세 집합의 교집합)부터 채우고 바깥으로 나가야 순서가 꼬이지 않는다.
• 참·거짓·알 수 없음은 조건을 만족하는 모든 가능한 벤다이어그램에서 결론이 항상 성립하는지로 판단하며, 반례가 하나라도 그려지면 알 수 없음 또는 거짓이다.
• 교집합의 최댓값은 두 집합 중 작은 쪽의 크기, 최솟값은 두 집합의 합에서 전체를 뺀 값과 0 중 더 큰 값이다.
• 최솟값 계산에서 뺄셈 결과가 음수이면 답은 0이라는 점을 잊지 않는다.

마무리 복습

참고 자료

• 나무위키 – 삼단논법 
• 나무위키 – 명제 논리