표준정규분포로는 부족한 상황: t분포가 필요한 이유

왜 필요한가

12편에서 배운 것처럼, 모표준편차 $\sigma$(시그마)를 알고 있다면 표본평균을 표준화한 $Z = \dfrac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n}$는 정확히(또는 중심극한정리에 의해 근사적으로) 표준정규분포 $N(0,1)$을 따른다. 그런데 현실에서는 $\sigma$를 아는 경우가 거의 없다. 그래서 $\sigma$ 대신 표본에서 계산한 표본표준편차 $s$(06편)를 대신 넣는다.

• $T$: t통계량. 표본에서 매번 계산되는 확률변수다.
• $s$: 표본표준편차. $\sigma$의 추정값일 뿐 참값이 아니므로, 표본마다 조금씩 다르게 나온다.

$s$ 자체가 표본마다 흔들리는 추정값이기 때문에, $T$는 $Z$보다 변동성이 더 크다. 이 추가된 불확실성을 반영한 분포가 바로 t분포(t-distribution)다.

쉽게 말하면: 모표준편차를 정확히 몰라서 표본표준편차로 대신 어림잡아 쓸 때, 그 어림짐작 때문에 생기는 여분의 불확실성까지 감안해서 만든 분포가 t분포다.

정의: 모양과 자유도

t분포는 표준정규분포처럼 0을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양이지만, 양쪽 꼬리가 표준정규분포보다 더 두껍다(극단값이 나올 가능성을 더 높게 잡는다는 뜻이다). t분포의 모양은 자유도(degrees of freedom, df)라는 하나의 모수로 결정된다.

• $df$: 자유도. 표본크기 $n$에서 표본평균을 이미 계산하는 데 정보 하나를 “써버렸기” 때문에 $n-1$이 된다(직관: 표본평균이 고정되면 $n$개 값 중 $n-1$개만 자유롭게 정해도 나머지 하나는 자동으로 결정되므로 “자유롭게 움직이는” 값의 개수가 $n-1$이라는 뜻이다).
• $df$가 커질수록(즉 표본크기가 커질수록) t분포는 표준정규분포에 점점 가까워진다. 실무적으로 $df \geq 30$ 정도면 거의 구분이 안 될 만큼 비슷해진다.

계산 예시

어느 학원에서 학생 $n=16$명을 뽑아 시험 점수를 조사했더니 표본평균 $\bar x = 78$, 표본표준편차 $s=8$이 나왔다. 모평균이 $\mu_0=75$라는 주장을 검정하기 위한 t통계량을 계산해보자.

이 t값은 자유도 $df = 16-1 = 15$인 t분포를 따른다. 17~18편에서 이 값을 t표의 임계값과 비교해 가설을 기각할지 판단하는 절차를 다룬다.

$\chi^2$분포: 분산의 표본분포

왜 필요한가

06편에서 배운 표본분산 $s^2 = \dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}$도 표본마다 다른 값이 나오는 확률변수다. 표본분산이 모분산 $\sigma^2$ 주위로 어떻게 흩어지는지를 알아야 분산의 신뢰구간(16편)이나 분산 검정(19~20편)을 만들 수 있다. 이때 등장하는 분포가 카이제곱분포($\chi^2$분포)다.

쉽게 말하면: 표본에서 계산한 분산이 진짜 모분산과 얼마나 다르게 나올 수 있는지를 설명해 주는 분포다.

정의

• $\chi^2$ (카이제곱, chi-squared): 항상 0 이상의 값만 가지는 확률변수. 표준정규분포를 따르는 확률변수 $df$개를 각각 제곱해서 더한 것과 같은 분포다(정의상 음수 제곱합이 나올 수 없어 왼쪽 경계가 0이다).
• $s^2$: 표본분산, $\sigma^2$: 모분산
• $df$: 자유도. 단일 표본에서 분산을 추정할 때는 $n-1$이다.

$\chi^2$분포는 t분포·표준정규분포와 달리 좌우 대칭이 아니라 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 비대칭 분포다. 자유도가 커질수록 점점 좌우 대칭인 종 모양에 가까워진다.

계산 예시

$n=10$인 표본에서 표본분산이 $s^2=25$로 나왔고 모분산이 $\sigma^2=16$이라고 알려져 있다고 하자.

이 값은 자유도 $df=9$인 $\chi^2$분포를 따르는 통계량이며, 16편의 분산 신뢰구간과 20편의 카이제곱 검정에서 이런 식으로 계산한 값을 카이제곱표의 임계값과 비교한다.

F분포: 두 분산의 비율

왜 필요한가

두 모집단의 분산이 같은지 비교하고 싶을 때가 있다(예: 두 반의 시험 점수 흩어짐이 비슷한가). 이때는 두 표본분산의 비율을 살펴본다. 두 독립된 $\chi^2$분포를 각각의 자유도로 나눈 뒤 그 둘을 다시 비율로 만든 분포가 F분포다.

쉽게 말하면: “두 그룹 중 어느 쪽이 더 들쭉날쭉한가”를 판단하기 위해, 두 표본분산의 비율이 얼마나 1에서 벗어날 수 있는지를 설명하는 분포다.

정의

• $F$: F통계량. 두 표본분산의 비율에서 유도된다. 두 모집단의 분산이 같다는 가정($\sigma_1^2=\sigma_2^2$) 아래에서는 $F = s_1^2/s_2^2$로 단순화된다.
• $df_1$: 분자 쪽 표본의 자유도 ($n_1-1$)
• $df_2$: 분모 쪽 표본의 자유도 ($n_2-1$)
• F분포는 $\chi^2$분포처럼 0 이상의 값만 가지며 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 비대칭 분포다. F분포는 두 개의 자유도(분자, 분모)로 모양이 결정되는 점이 t분포·$\chi^2$분포와 다르다.

계산 예시

A반 $n_1=13$명의 표본분산이 $s_1^2=36$, B반 $n_2=10$명의 표본분산이 $s_2^2=9$라고 하자. 두 모분산이 같다는 가정 아래 F통계량을 구한다(관행적으로 더 큰 분산을 분자에 놓는다).

이 $F=4$ 값은 자유도 $(12, 9)$인 F분포를 따르는 통계량이며, F표에서 해당 자유도 쌍의 임계값과 비교해 “두 반의 분산이 같다”는 가정을 기각할지 19편에서 판단한다.

세 분포 대조표

분포표 읽는 법

세 분포표 모두 “면적(확률)을 알고 있을 때 그에 대응하는 임계값(경계선 위치)을 찾는” 방식으로 쓴다는 점은 같지만, 표의 생김새는 서로 다르다.

t분포표와 $\chi^2$분포표는 자유도 하나만 확인하면 행을 바로 찾을 수 있지만, F분포표는 자유도가 두 개이므로 먼저 유의수준에 맞는 표를 고른 다음, 분자 자유도로 열을, 분모 자유도로 행을 찾아 교차하는 값을 읽는다. 이 구조 때문에 F표는 유의수준별로 여러 장이 따로 존재한다.

어떤 분포를 언제 쓰는가: 판단 트리

자유도 계산 규칙: 상황별 표

자유도 계산 실수는 시험에서 가장 잦은 실수 중 하나다. 상황별로 정리한다.

카이제곱 독립성 검정의 자유도 계산 예시: 교차표가 3행(행 개수 $r=3$) 4열(열 개수 $c=4$)이라면 자유도는 다음과 같다.

• $r-1$: 행 개수에서 1을 뺀 값
• $c-1$: 열 개수에서 1을 뺀 값
• 곱하는 이유(직관): 교차표의 각 칸(cell)은 행의 합·열의 합이라는 제약을 만족해야 하므로, 행과 열 각각에서 “자유롭게 정할 수 있는” 개수를 곱한 만큼만 실제로 자유롭게 움직인다.

자주 틀리는 점

• t분포의 자유도를 $n$으로 쓴다. 단일표본 t분포는 $n-1$이지, $n$이 아니다. 표본평균을 계산하면서 정보 1개를 이미 소모했다는 점을 잊지 않는다.
• 두 독립표본 t검정의 자유도를 $n_1-1$이나 $n_2-1$ 하나만 쓴다. 등분산을 가정하는 경우 두 표본 각각에서 정보 1개씩을 쓰므로 $n_1+n_2-2$가 맞다.
• 카이제곱 독립성 검정에서 자유도를 $r \times c$로 계산한다. 옳은 공식은 $(r-1)(c-1)$이다. 행 개수와 열 개수에서 각각 1씩 뺀 뒤 곱한다.
• F통계량을 만들 때 분자·분모를 마음대로 바꾼다. 어느 표본분산을 분자에 놓느냐에 따라 F값과 그에 대응하는 자유도 순서($df_1, df_2$)가 함께 바뀐다는 점을 주의해야 한다. 관행적으로 더 큰 분산을 분자로 놓지만, 문제에서 순서를 지정했다면 그 순서를 그대로 따라야 한다.
• $\chi^2$분포와 F분포도 t분포·표준정규분포처럼 좌우 대칭일 것이라 생각한다. 이 둘은 0 이상의 값만 가지는 오른쪽 꼬리 분포이며, 표에서 임계값을 찾을 때 좌우 대칭을 가정한 지름길(예: 절댓값 처리)을 쓸 수 없다.
• 자유도가 커지면 t분포가 정규분포와 완전히 같아진다고 착각한다. 자유도가 커질수록 “가까워질” 뿐, 자유도가 유한한 한 t분포는 표준정규분포보다 꼬리가 항상 조금 더 두껍다.

핵심 정리

• t분포는 모표준편차를 몰라 표본표준편차로 대신할 때 생기는 여분의 불확실성을 반영한 분포이며, 자유도는 $n-1$이다.
• $\chi^2$분포는 표본분산과 모분산의 비율에서 나오는 분포로, 자유도 $n-1$을 가지며 0 이상의 비대칭 분포다.
• F분포는 두 표본분산의 비율에서 나오는 분포로, 분자·분모 각각의 자유도 두 개로 모양이 결정된다.
• 자유도 계산은 상황마다 다르다: 단일평균 $n-1$, 두 독립표본평균 $n_1+n_2-2$, 카이제곱 적합도 $k-1$, 카이제곱 독립성 $(r-1)(c-1)$, F분포는 $(n_1-1,\ n_2-1)$.
• “평균이냐 분산이냐”, “모집단이 한 개냐 두 개냐”, “$\sigma$를 아느냐 모르느냐”의 세 가지 질문으로 어떤 분포를 쓸지 판단할 수 있다.

마무리 복습

참고 자료

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — Sampling Distributions and t, chi-square, F 
• Wolfram MathWorld — Student’s t-Distribution, Chi-Squared Distribution, F-Distribution 
• 국가평생교육진흥원 독학학위제