10. 수열의 극한과 연속: 기본 정의와 계산

이번 문서의 목표: 이 문서를 다 읽으면 수열이 무한히 진행될 때 어디로 다가가는지를 판단하고, 분수·다항식 형태의 수열 극한을 표준 절차로 계산할 수 있다.

09편에서 무한급수를 다룰 때 이미 “ $n$ 이 한없이 커질 때 부분합이 어떤 값에 가까워진다”는 표현을 여러 번 썼다. 이 편에서는 그 “가까워진다”는 개념 자체 — 수열의 극한(limit of a sequence) — 을 정식으로 정의하고, 극한을 계산하는 표준 절차를 익힌다. 이 편의 내용은 11편(함수의 극한)과 12편(극한 계산 기술), 13편(미분)까지 그대로 이어지는 기초이므로, 여기서 계산 절차를 확실히 잡아 두어야 한다.

수열의 극한: 직관적 정의

쉽게 말하면: $n$ 을 한없이 크게 만들었을 때 수열의 항이 어떤 고정된 값에 한없이 가까워지면, 그 값이 수열의 극한이다.

수열 $a_n$ 에서 $n$ 을 1, 2, 3, …으로 계속 키워 나갈 때, $a_n$ 의 값이 어떤 특정한 숫자 $L$ 에 한없이 가까워지고 그 차이가 얼마든지 작아질 수 있다면, 수열 $\{a_n\}$ 은 $L$ 로 수렴(converge)한다고 하고 다음과 같이 쓴다.

\lim_{n\to\infty} a_n = L

$\lim$ : 리미트(limit), “극한값을 구하라”는 뜻의 기호
$n\to\infty$ : “ $n$ 이 무한대로 간다”, 즉 $n$ 을 한없이 크게 만든다는 뜻
$a_n$ : 극한을 구하려는 수열의 $n$ 번째 항
$L$ : 수열이 다가가는 목표값(극한값)

이 정의는 엄밀한 수학적 정의(입실론-엔 논법)를 간단히 줄인 직관적 정의다. 독학사 시험 수준에서는 엄밀한 정의를 증명하는 문제는 나오지 않고, “이 수열이 어디로 다가가는가”를 계산으로 찾는 문제가 나온다.

예시로 감을 잡아 보자. $a_n = \dfrac{1}{n}$ 이라는 수열을 생각하자. $n=1,2,3,10,100,1000$ 을 차례로 대입해 보면 다음과 같다.

a_1=1,\ a_2=0.5,\ a_3\approx0.333,\ a_{10}=0.1,\ a_{100}=0.01,\ a_{1000}=0.001

$n$ 이 커질수록 $a_n$ 의 값이 점점 0에 가까워지는 것이 뚜렷하게 보인다. 아무리 작은 목표 오차를 잡아도 $n$ 을 충분히 크게 하면 $a_n$ 을 그보다 더 0에 가깝게 만들 수 있다. 따라서 이 수열은 0으로 수렴한다.

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0

이 결과는 앞으로 나올 모든 극한 계산의 기본 재료가 된다. 일반화하면, $k>0$ 인 상수에 대해 다음이 항상 성립한다.

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k} = 0

$k$ : 양의 상수(지수). $k$ 가 커질수록 분모가 더 빨리 커져서 분수는 더 빨리 0에 가까워진다.

수렴과 발산

쉽게 말하면: 극한값이 하나로 정해지면 수렴, 무한대로 커지거나 값이 계속 흔들리면 발산이다.

수열의 극한이 존재하지 않는 경우는 크게 두 가지로 나뉜다.

첫째, 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하는 경우. $a_n=n$ 이라는 수열은 $n$ 이 커질수록 값 자체가 한없이 커지므로, 어떤 고정된 수 $L$ 에도 가까워지지 않는다. 이런 경우는 편의상 다음처럼 표기하지만, 이는 “수렴한다”는 뜻이 아니라 “한없이 커지는 방식으로 발산한다”는 뜻이다.

\lim_{n\to\infty} n = \infty

둘째, 진동으로 발산하는 경우. $a_n=(-1)^n$ 이라는 수열은 $n$ 이 홀수면 $-1$ , 짝수면 $1$ 을 번갈아 갖는다. 즉 $-1, 1, -1, 1, \ldots$ 로 두 값 사이를 영원히 왔다 갔다 하므로, 어떤 하나의 값으로도 다가가지 않는다. 이런 경우를 진동(oscillation)이라 하고, 극한값 자체가 존재하지 않는다.

수열 예시	$n$ 이 커질 때의 모습	결과
$a_n=\dfrac1n$	0에 한없이 가까워짐	0으로 수렴
$a_n=n$	한없이 커짐	양의 무한대로 발산
$a_n=-n$	한없이 작아짐(음수 방향으로)	음의 무한대로 발산
$a_n=(-1)^n$	$-1$ 과 $1$ 을 번갈아 반복	진동(극한 없음)

극한의 기본 성질

쉽게 말하면: 각 수열의 극한값을 먼저 따로 구한 뒤, 사칙연산은 그 극한값끼리 그대로 적용해도 된다.

두 수열 $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ 이 각각 극한값 $\lim_{n\to\infty}a_n=A$ , $\lim_{n\to\infty}b_n=B$ 로 수렴한다고 하자(단, $A$ , $B$ 는 유한한 값이다). 이때 다음 성질들이 성립한다.

\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = A+B

\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = A-B

\lim_{n\to\infty}(c \cdot a_n) = c A \quad (c\text{는 상수})

\lim_{n\to\infty}(a_n \cdot b_n) = A B

\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B} \quad (B\neq0)

$A$ , $B$ : 각 수열이 수렴하는 극한값
$c$ : 수열과 무관한 고정된 상수
나눗셈 성질은 분모의 극한값 $B$ 가 0이 아닐 때만 성립한다(0이면 별도로 처리해야 하며, 이는 12편에서 자세히 다룬다).

이 성질들의 핵심은 “먼저 각자 극한을 구하고, 그다음 사칙연산을 한다”는 순서다. 이 순서를 거꾸로 해서 극한 기호가 붙은 채로 계산하려 하면 안 된다.

예시. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+3\right)$ 을 계산해 보자. $\dfrac1n$ 의 극한은 0이고, 상수 3은 그대로 상수이므로 3의 극한도 3이다.

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+3\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} + \lim_{n\to\infty}3 = 0+3 = 3

검산. $n=10$ 이면 $\dfrac1{10}+3=3.1$ , $n=1000$ 이면 $\dfrac1{1000}+3=3.001$ 로 $n$ 이 커질수록 3에 점점 가까워지는 흐름이 계산 결과와 일치한다(검산 완료).

단순 극한 계산 유형

쉽게 말하면: 분수 형태의 수열은 분모의 최고차항으로 분자·분모를 동시에 나눠서 극한을 구한다.

시험에 가장 많이 나오는 유형은 분자와 분모가 모두 $n$ 에 대한 다항식인 분수 수열의 극한이다. 이런 경우는 분모의 최고차항(가장 차수가 높은 항)으로 분자와 분모를 동시에 나누는 표준 절차를 쓴다.

예제 1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{5n-1}$ 을 계산해 보자.

분모의 최고차항은 $n$ (1차항)이므로 분자와 분모를 모두 $n$ 으로 나눈다.

\frac{2n+3}{5n-1} = \frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{5n}{n}-\frac{1}{n}} = \frac{2+\frac{3}{n}}{5-\frac{1}{n}}

이제 $n\to\infty$ 일 때 $\dfrac3n\to0$ , $\dfrac1n\to0$ 이므로 극한을 대입한다.

\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{5-\frac{1}{n}} = \frac{2+0}{5-0} = \frac{2}{5}

검산. $n=1000$ 을 직접 대입하면 $\dfrac{2(1000)+3}{5(1000)-1}=\dfrac{2003}{4999}\approx0.4007$ 이고, $\dfrac25=0.4$ 와 거의 일치한다(차이는 $n$ 이 유한하기 때문에 생기는 오차이며 $n$ 이 커질수록 더 좁혀진다).

예제 2 — 분모의 차수가 더 높은 경우. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{n^2+2}$ 를 계산해 보자. 분모의 최고차항은 $n^2$ 이므로 분자·분모를 $n^2$ 으로 나눈다.

\frac{3n+1}{n^2+2} = \frac{\frac{3n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}} = \frac{\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}

$n\to\infty$ 일 때 $\dfrac3n, \dfrac1{n^2}, \dfrac2{n^2}$ 모두 0으로 가므로

\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} = \frac{0+0}{1+0} = 0

검산. $n=100$ 을 대입하면 $\dfrac{301}{10002}\approx0.0301$ 로 0에 가까운 작은 값이 나와 결과와 일치하는 흐름을 보인다.

예제 3 — 분자의 차수가 더 높은 경우. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{3n+2}$ 을 계산해 보자. 분모의 최고차항 $n$ 으로 나눈다.

\frac{n^2+1}{3n+2} = \frac{\frac{n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{2}{n}} = \frac{n+\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}

분자에 $n$ 이 그대로 남아 $n\to\infty$ 일 때 분자는 한없이 커지고 분모는 3에 가까워지므로, 전체 값은 한없이 커진다.

\lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}} = \infty

정리하면, 분수 수열의 극한은 분자·분모의 최고차항 차수를 비교해서 다음 세 가지로 요약된다.

분자·분모의 최고차항 차수 비교	극한 결과
분모의 차수 > 분자의 차수	0으로 수렴
분모의 차수 = 분자의 차수	최고차항 계수의 비로 수렴
분모의 차수 < 분자의 차수	무한대로 발산

예제 4 — 근호가 있는 경우. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ 을 계산해 보자. 이대로는 $\infty-\infty$ 꼴로 바로 판단할 수 없으므로, 분자를 유리화하는 기법을 쓴다(12편에서 이 기법을 더 자세히 다룬다). 켤레식 $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ 을 분자·분모에 곱한다.

\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

분자는 $(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$ 로 정리된다.

= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

$n\to\infty$ 일 때 분모 $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ 은 한없이 커지므로, 분수 전체는 0으로 수렴한다.

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = 0

검산. $n=100$ 일 때 $\sqrt{101}-\sqrt{100}\approx10.0499-10=0.0499$ 로 0에 가까운 작은 값이 나와 결과와 일치한다.

수열과 함수의 연속성 연결

쉽게 말하면: 수열의 극한은 “ $n$ 이 자연수를 따라 점점 커지는” 특수한 경우이고, 함수의 극한·연속은 이를 실수 전체로 확장한 것이다.

지금까지 다룬 수열의 극한은 $n$ 이 1, 2, 3, …처럼 자연수만 따라가며 커지는 특수한 상황이다. 반면 11편에서 다룰 함수의 극한은 $x$ 가 실수 전체(정수 사이의 모든 값 포함)를 연속적으로 움직이며 어떤 값에 다가가는 상황을 다룬다. 두 개념은 다음과 같이 연결된다.

수열 $a_n$ 을 함수처럼 보면, $a_n=f(n)$ 이라는 함수 $f$ 에 자연수 $n$ 만 대입한 것과 같다. 예를 들어 $a_n=\dfrac1n$ 은 함수 $f(x)=\dfrac1x$ 에 $x=n$ (자연수)을 대입한 값들의 나열이다.
함수 $f(x)$ 가 $x\to\infty$ 일 때 $L$ 로 수렴한다면( $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ ), 그 함수에 자연수만 대입한 수열 $a_n=f(n)$ 도 같은 값 $L$ 로 수렴한다. 즉 함수의 극한이 존재하면, 거기서 자연수만 뽑아 만든 수열의 극한도 자동으로 같은 값을 갖는다.
함수의 연속(continuity, 그래프가 끊어지지 않고 이어지는 성질)은 “ $x$ 가 특정 점 $a$ 에 가까워질 때 함숫값 $f(x)$ 도 $f(a)$ 에 가까워진다”는 개념인데, 이는 곧 $x_n\to a$ 인 임의의 수열 $x_n$ 에 대해 $f(x_n)\to f(a)$ 가 성립한다는 뜻과 같다. 즉 함수의 연속성은 “그 함수에 어떤 방식으로 다가가는 수열을 넣어도 함숫값이 목표점에서의 값으로 수렴한다”는 수열 극한의 언어로도 표현할 수 있다.

이 연결 관계 덕분에, 수열의 극한 계산에서 익힌 “최고차항으로 나누기”, “유리화” 같은 기법은 11편·12편의 함수 극한 계산에서도 형태만 살짝 바뀐 채 그대로 재사용된다.

자주 틀리는 점

극한 기호를 붙인 채로 사칙연산 순서를 뒤바꾼다. $\lim(a_n \cdot b_n)$ 을 계산할 때는 반드시 $a_n$ 과 $b_n$ 의 극한을 각각 따로 구한 뒤 곱해야 한다. 극한이 존재하지 않는 수열끼리는 이 성질을 함부로 적용할 수 없다.
분모의 최고차항이 아니라 분자의 최고차항으로 나눈다. 표준 절차는 항상 분모의 최고차항 기준으로 나누는 것이다. 어느 쪽으로 나눠도 결과는 같지만, 분모 기준으로 나누는 습관을 들이면 실수를 줄일 수 있다.
분자·분모 차수가 같을 때 계수의 비를 놓친다. 차수가 같으면 극한값은 0도 무한대도 아니고, 최고차항의 계수끼리 나눈 값이라는 점을 기억해야 한다.
$\infty-\infty$ 꼴을 그대로 0이라고 잘못 판단한다. 무한대에서 무한대를 빼는 형태는 겉보기와 달리 0, 유한한 값, 또는 무한대 등 다양한 결과가 나올 수 있으므로 반드시 유리화나 식 정리를 거쳐야 한다.
진동하는 수열에 억지로 극한값을 부여한다. $(-1)^n$ 처럼 값이 계속 바뀌는 수열은 극한이 아예 존재하지 않는다는 것이 정답이며, 두 값의 평균 등을 임의로 답하면 오답이다.

핵심 정리

수열의 극한은 $n$ 을 한없이 키울 때 $a_n$ 이 다가가는 값으로, $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ 로 표기한다.
수렴하지 않는 경우는 무한대로 발산하거나, 여러 값 사이를 오가는 진동으로 나뉜다.
각 수열이 유한한 값으로 수렴할 때만 합·차·곱·몫의 극한을 각 극한값의 사칙연산으로 바꿀 수 있다(나눗셈은 분모 극한이 0이 아닐 때).
분수 형태의 수열은 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나눠 차수를 비교해 극한을 구하고, 근호가 섞인 $\infty-\infty$ 꼴은 유리화로 처리한다.
수열의 극한은 함수의 극한에서 $n$ 이 자연수만 취하는 특수한 경우이며, 함수의 연속성도 수열의 극한 언어로 표현할 수 있다.

마무리 복습

문제 14지선다

수열 a(n) = 1/n²의 n이 무한대로 갈 때 극한값은?

01무한대로 발산극한이 존재하지 않는다

문제 24지선다

극한 lim(n→∞) (4n-1)/(2n+3)의 값은?

2401/2

문제 34지선다

극한 lim(n→∞) (2n+5)/(n²-3)의 값은?

02무한대로 발산5/3

문제 44지선다

수열 a(n) = (-1)^n × 2 에 대한 설명으로 옳은 것은?

극한이 존재하지 않는다(진동)0으로 수렴한다2로 수렴한다무한대로 발산한다

문제 54지선다

극한 lim(n→∞) (√(n+2) - √n)의 값은?

021무한대로 발산

문제 64지선다

함수 f(x)에서 lim(x→∞) f(x) = 3일 때, 수열 a(n) = f(n)에 대해 항상 참인 것은?

lim(n→∞) a(n) = 3이다a(n)은 항상 3이다a(n)은 진동한다a(n)의 극한은 알 수 없다