05편에서 명제와 조건을, 06편에서 다항·유리·무리·지수·로그함수의 그래프를 정리했다. 이 편은 그 함수 그래프를 방정식·부등식의 해를 찾는 도구로 사용하는 방법을 다룬다. 독학사 시험에서는 “이 방정식의 해가 몇 개인가”, “이 부등식을 만족하는 $x$의 범위는” 같은 문제가 많이 나오는데, 계산만으로 풀 수도 있지만 그래프로 해석하면 검산이 훨씬 쉬워진다.

함수와 방정식의 관계

쉽게 말하면: 방정식 $f(x)=0$의 해는 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표다.

함수 $y=f(x)$가 있을 때, 방정식 $f(x)=0$의 실근(실수인 근)은 그래프가 $x$축과 교차하는 점의 $x$좌표와 정확히 일치한다. 이 대응 관계 덕분에 “방정식을 계산으로 풀기 어려운 경우”에도 그래프의 개형만으로 근의 개수를 판단할 수 있다.

예시. 이차방정식 $x^2 - 5x + 6 = 0$을 인수분해로 풀어 보자.

• 곱해서 6, 더해서 $-5$가 되는 두 수를 찾으면 $-2$와 $-3$이다.

검산: $x=2$를 원식에 대입하면 $4-10+6=0$, $x=3$을 대입하면 $9-15+6=0$으로 둘 다 성립한다(검산 완료). 그래프로 보면 $y=x^2-5x+6$은 아래로 볼록한 포물선이며 $x=2$와 $x=3$에서 $x$축과 만난다 — 근이 정확히 2개라는 뜻이다.

이차방정식의 근의 개수: 판별식

쉽게 말하면: 판별식의 부호만 보면 그래프를 직접 그리지 않아도 근이 몇 개인지 알 수 있다.

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$($a\neq0$)의 근은 근의 공식으로 구한다.

• $a$, $b$, $c$: 이차방정식의 계수
• $\pm$: “플러스마이너스” — $+$를 쓴 경우와 $-$를 쓴 경우 두 개의 해가 나온다는 뜻
• $b^2-4ac$: 판별식(discriminant, 근의 개수를 가려내는 식)이라 하며 기호 $D$로 쓴다

판별식 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 근의 개수(=그래프와 $x$축의 교점 개수)가 정해진다.

예시. $x^2 - 4x + 4 = 0$의 판별식을 구해 보자. $a=1$, $b=-4$, $c=4$이므로

$D=0$이므로 중근을 갖는다. 근의 공식에 대입하면

검산: $x=2$를 원식에 대입하면 $4-8+4=0$으로 성립한다. 또한 $x^2-4x+4=(x-2)^2$으로 완전제곱식이 되므로, 그래프는 $x=2$에서 $x$축에 접하는 포물선이다(검산 완료).

그래프를 이용한 근의 해석

두 함수의 교점으로 방정식을 해석할 수도 있다. 방정식 $f(x) = g(x)$의 해는 $y=f(x)$ 그래프와 $y=g(x)$ 그래프의 교점의 $x$좌표와 같다. 이는 $f(x)=g(x)$를 $f(x)-g(x)=0$으로 옮겨 앞 절의 논리를 그대로 적용한 것이다.

예시. $x^2 = x+2$의 해를 그래프 관점에서 확인해 보자. 먼저 식을 정리한다.

• 곱해서 $-2$, 더해서 $-1$이 되는 두 수는 $-2$와 $1$이다.

검산: $x=2$일 때 좌변 $2^2=4$, 우변 $2+2=4$로 일치. $x=-1$일 때 좌변 $(-1)^2=1$, 우변 $-1+2=1$로 일치한다(검산 완료). 그래프로는 포물선 $y=x^2$과 직선 $y=x+2$가 두 점 $(2,4)$와 $(-1,1)$에서 만난다는 뜻이다.

절댓값이 포함된 부등식

쉽게 말하면: 절댓값 기호를 없애려면, 안의 식이 양수인 경우와 음수인 경우로 나눠서 풀어야 한다.

절댓값(absolute value) $|x|$는 $x$가 원점으로부터 떨어진 거리를 뜻하며, 다음과 같이 경우를 나눠 정의한다.

절댓값 부등식은 아래 두 가지 표준 변환을 알아두면 대부분 풀린다($a>0$일 때).

예시. $|2x - 3| < 5$를 풀어 보자. 위 첫 번째 변환을 적용한다.

• 절댓값 안의 식 전체가 $-5$와 $5$ 사이에 있어야 한다.

• 세 변에 모두 3을 더한다.

• 세 변을 모두 2로 나눈다.

검산: 경계값 근처를 확인한다. $x=0$(범위 안)을 대입하면 $|2(0)-3|=|-3|=3<5$로 성립. $x=4$(경계, 범위 밖)를 대입하면 $|2(4)-3|=|5|=5$로 부등식이 등호가 되어 ”< 5”를 만족하지 못한다 — 경계가 정확히 4임을 확인했다(검산 완료).

예시. $|x+1| \geq 3$을 풀어 보자. 두 번째 변환(등호 포함)을 적용한다.

검산: $x=-4$를 대입하면 $|-4+1|=|-3|=3 \geq 3$으로 등호가 성립해 경계값이 포함되는 것이 맞다. $x=0$(범위 밖)을 대입하면 $|0+1|=1$로 $3$보다 작으므로 해에서 제외되는 것이 맞다(검산 완료).

무리부등식: 정의역부터 확인

쉽게 말하면: 근호가 있는 부등식은 계산 전에 근호 안이 0 이상인지부터 확인해야 한다. 이 확인을 빠뜨리면 답이 틀린다.

무리부등식은 06편에서 다룬 무리함수의 정의역 조건이 그대로 적용된다. 근호를 없애기 위해 양변을 제곱하기 전에, 반드시 다음 두 조건을 먼저 챙겨야 한다.

예시. $\sqrt{x-2} < 3$을 풀어 보자.

먼저 근호가 정의되는 범위를 구한다.

우변 $3$은 이미 양수이므로 양변을 제곱해도 부등호 방향이 바뀌지 않는다. 양변을 제곱한다.

두 조건 $x \geq 2$와 $x < 11$을 교집합으로 묶으면 최종 해는 다음과 같다.

검산: 경계값을 확인한다. $x=2$(포함)를 대입하면 $\sqrt{2-2}=\sqrt{0}=0<3$으로 성립. $x=11$(제외)을 대입하면 $\sqrt{11-2}=\sqrt{9}=3$이 되어 ”< 3”을 만족하지 못한다 — 경계가 정확하다. $x=1$(정의역 밖)을 대입하면 $\sqrt{1-2}=\sqrt{-1}$로 애초에 실수 범위에서 정의되지 않아 해에서 제외되는 것이 맞다(검산 완료).

예시. $\sqrt{2x+1} \geq x-1$처럼 우변에 변수가 있는 경우는 우변의 부호에 따라 경우를 나눠야 한다. 이런 유형은 다음 흐름으로 접근한다.

우변이 음수인 구간에서는 좌변인 근호값이 항상 0 이상이므로 부등식이 자동으로 성립하고, 우변이 0 이상인 구간에서만 제곱해서 풀면 된다. 두 구간에서 나온 해를 합집합으로 묶는 것이 최종 해다.

정의역·해집합에서 자주 생기는 함정

쉽게 말하면: 계산으로 얻은 해가 애초에 정의역 안에 있는지 마지막에 반드시 다시 확인해야 한다.

방정식·부등식을 풀 때 양변을 제곱하거나 분모를 없애는 과정에서 원래 식에는 없던 해(증가근, extraneous root)가 끼어들 수 있다. 계산이 끝나면 반드시 원래 식(제곱하기 전, 분수 형태 그대로)에 답을 대입해 검산해야 한다.

예시. $\sqrt{x+3} = x-3$을 풀어 보자. 양변을 제곱한다.

여기서 멈추면 안 된다. 원래 식에 각 값을 직접 대입해서 확인해야 한다.

• $x=1$: 좌변 $\sqrt{1+3}=\sqrt4=2$, 우변 $1-3=-2$. $2 \neq -2$이므로 성립하지 않는다. 제곱하는 과정에서 생긴 가짜 해다.
• $x=6$: 좌변 $\sqrt{6+3}=\sqrt9=3$, 우변 $6-3=3$. $3=3$으로 성립한다.

따라서 최종 해는 $x=6$ 하나뿐이다(검산 완료). $x=1$이 왜 걸러졌는지 설명하면, 제곱하는 과정은 좌변과 우변의 부호가 서로 달라도 제곱하면 같아질 수 있기 때문이다. $\sqrt{x+3}$은 항상 0 이상인데 $x=1$일 때 우변 $x-3=-2$는 음수라서, 애초에 “0 이상 = 음수”라는 모순이 제곱 과정에서 가려졌던 것이다.

자주 틀리는 점

• 무리방정식·무리부등식에서 양변을 제곱한 뒤 검산을 생략한다. 제곱하는 순간 원래 없던 해가 생길 수 있으므로, 반드시 원래 식에 대입해 확인해야 한다.
• 절댓값 부등식에서 부호 조건을 빠뜨린다. $|x| > a$는 “또는”(합집합), $|x| < a$는 “그리고”(교집합, 즉 범위)로 완전히 다른 구조라는 점을 혼동하지 않아야 한다.
• 판별식 부호와 근의 개수를 반대로 기억한다. $D>0$이면 근이 2개, $D=0$이면 중근 1개(그래프는 접함), $D<0$이면 실근이 없다(그래프는 만나지 않음).
• 무리부등식에서 근호 안의 정의역 조건을 최종 해에 교집합으로 포함시키지 않는다. 제곱해서 푼 해가 정의역보다 넓게 나올 수 있으므로, 처음 구한 정의역과 반드시 교집합을 취해야 한다.
• 부등식 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 바꾸지 않는다. 절댓값·무리부등식이 아니어도 이 실수는 매우 흔하다.

핵심 정리

• 방정식 $f(x)=0$의 실근은 그래프 $y=f(x)$와 $x$축의 교점, $f(x)=g(x)$의 실근은 두 그래프의 교점이다.
• 이차방정식은 판별식 $D=b^2-4ac$의 부호로 근의 개수를 바로 판단할 수 있다($D>0$: 2개, $D=0$: 중근, $D<0$: 없음).
• $|x|<a$는 $-a<x<a$(교집합), $|x|>a$는 $x<-a$ 또는 $x>a$(합집합)로 변환한다.
• 무리부등식은 근호 안의 정의역 조건을 먼저 확정하고, 제곱해서 얻은 해와 교집합으로 묶어야 한다.
• 제곱·양변 곱셈 등으로 방정식을 변형했다면, 계산이 끝난 뒤 반드시 원래 식에 대입해 가짜 해를 걸러내야 한다.

마무리 복습

참고 자료

• 국가평생교육진흥원 독학학위제 시험안내 
• MathWorld - Quadratic Equation