실제 시험 문제는 “이것은 극한 문제, 저것은 미분 문제”처럼 단원이 표시되어 나오지 않는다. 문제 하나에 함수의 정의역, 수열의 일반항, 극한 계산, 미분 공식이 순서대로 얽혀 나오는 경우가 많다. 06편부터 14편까지 각 단원을 따로 배웠다면, 이 편에서는 그 단원들을 한 문제 안에서 연결하는 훈련을 한다. 핵심은 문제를 읽자마자 “이 문제는 어떤 순서로 풀어야 하는가”를 먼저 정하는 것이다.

풀이 경로 정하기

복합 문제는 한 번에 끝까지 계산하려 하지 말고, 위 흐름처럼 한 단계씩 검산하며 넘어가야 실수를 줄일 수 있다.

유형 1 — 함수와 수열의 결합

문제 1. 함수 $f(x) = 2x-1$이 있다. 수열 $\{a_n\}$이 $a_n = f(n)$으로 정의될 때, $a_1$부터 $a_{20}$까지의 합을 구하라.

풀이. 먼저 함수 $f$에 자연수를 대입해서 수열의 일반항을 구한다.

$n=1, 2, 3$을 대입해 보면 $a_1=1$, $a_2=3$, $a_3=5$로, 첫째항이 1이고 공차가 2인 등차수열임을 알 수 있다.

• $a_1 = 1$: 첫째항
• $d = 2$: 공차(이웃한 항의 차, $a_2-a_1=3-1=2$)

합 공식 $S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$을 쓰기 위해 $a_{20}$을 먼저 구한다.

검산. 등차수열의 합은 “홀수의 합”으로도 확인할 수 있다. $a_n=2n-1$은 1, 3, 5, …, 39로 이어지는 홀수의 나열이며, 1부터 시작하는 연속한 홀수 $n$개의 합은 잘 알려진 공식으로 $n^2$이다. $n=20$이므로 $20^2=400$이다. 두 방법의 결과가 정확히 일치한다(검산 완료).

유형 2 — 함수의 정의역과 극한

문제 2. 함수 $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$이 있다. $f$의 정의역과 $\displaystyle\lim_{x\to1} f(x)$를 각각 구하라.

풀이. 정의역부터 확인한다. 분모 $x-1$이 0이 되면 함수가 정의되지 않으므로 $x=1$은 정의역에서 제외된다.

다음으로 극한을 구한다. $x\to1$일 때 분모가 0이 되므로 바로 대입할 수 없고, 분자를 인수분해해 약분해야 한다.

여기서 반드시 짚어야 할 점은, $f(x)$가 $x=1$에서 정의되지 않지만 $x=1$로 가까워질 때의 극한값은 2로 존재한다는 것이다. 정의역에 없는 점이라고 해서 극한도 없는 것은 아니다.

검산. $x=1.01$을 원래 식에 대입한다. $\dfrac{1.01^2-1}{1.01-1} = \dfrac{0.0201}{0.01} = 2.01$로, 2에 매우 가깝다(검산 완료).

유형 3 — 극한을 이용한 미분계수 정의 확인

문제 3. 함수 $f(x) = x^2+3x$에 대해 극한의 정의를 이용해 $x=2$에서의 미분계수 $f'(2)$를 구하라.

풀이. 미분계수의 정의는 다음과 같다.

• $a$: 미분계수를 구할 지점(여기서는 2)
• $h$: 아주 작은 변화량(0에 한없이 가까워지는 값)

$a=2$를 대입하고 $f(2+h)$와 $f(2)$를 각각 계산한다.

검산. 미분 공식 $\dfrac{d}{dx}(x^2+3x) = 2x+3$을 이용해 $x=2$를 대입한다. $2\times2+3=7$로, 극한의 정의로 구한 값과 정확히 일치한다(검산 완료). 이 문제는 “미분 공식이 왜 성립하는지”를 극한으로 직접 확인시켜 주는 유형이며, 시험에서도 공식 대입형과 정의형이 둘 다 나올 수 있다.

유형 4 — 함수·미분·수열이 함께 나오는 복합 문제

문제 4. 함수 $f(x) = x^3-3x^2+2$가 있다. 이 함수가 극값을 갖는 $x$값을 모두 구하고, 그 값들을 첫째항과 둘째항으로 하는 등차수열의 제5항을 구하라(단, 극값을 갖는 $x$값은 작은 값부터 순서대로 사용한다).

풀이. 먼저 극값을 찾는다. 극값(extreme value, 함수가 커지다가 작아지거나 작아지다가 커지는 경계에서의 값)은 미분계수가 0이 되는 지점에서 후보가 생긴다.

$f'(x)=0$을 풀어 후보를 찾는다.

$x=0$ 앞뒤에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $x=0$에서 극대, $x=2$ 앞뒤에서 음에서 양으로 바뀌므로 $x=2$에서 극소임을 확인한다(부호 확인은 14편의 증가·감소 판정법을 그대로 사용한다).

작은 값부터 순서대로 놓으면 첫째항 $a_1=0$, 둘째항 $a_2=2$이다. 공차는 다음과 같다.

제5항을 구한다.

검산. 수열을 직접 나열하면 0, 2, 4, 6, 8이다. 다섯 번째 항이 8로 공식 결과와 일치한다(검산 완료). 극값 판정도 다시 확인하면, $f'(-1)=3(-1)^2-6(-1)=3+6=9>0$, $f'(1)=3-6=-3<0$이므로 $x=0$ 좌우에서 부호가 양에서 음으로 바뀌어 극대가 맞고, $f'(3)=27-18=9>0$이므로 $x=2$ 좌우에서 음에서 양으로 바뀌어 극소가 맞다(검산 완료).

자주 틀리는 점

• 극한 문제에서 정의역과 극한값을 혼동하는 것. $x=1$에서 함수가 정의되지 않아도 그 근처로 다가갈 때의 극한값은 따로 존재할 수 있다는 점을 반드시 구분해야 한다.
• 미분계수 정의를 쓸 때 $h$로 나누기 전에 미리 $h=0$을 대입하는 것. $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$는 $h$로 약분한 뒤에만 $h\to0$의 극한을 취할 수 있다. 약분하지 않고 $h=0$을 넣으면 $0/0$이 되어 계산이 안 된다.
• 극값을 판정할 때 $f'(x)=0$인 지점을 곧바로 극값으로 단정하는 것. $f'(x)=0$은 극값의 후보일 뿐이며, 그 앞뒤에서 부호가 실제로 바뀌는지 확인해야 극대·극소가 확정된다(부호가 안 바뀌면 변곡점일 뿐 극값이 아니다).
• 복합 문제에서 함수식을 대입할 순서를 바꾸는 것. 함수와 수열이 결합된 문제는 “함수에 자연수를 대입해 수열을 만드는 것”과 “수열의 결과를 다시 함수에 넣는 것”의 순서를 문제에서 요구한 그대로 지켜야 한다.

핵심 정리

• 복합 문제는 한 번에 끝까지 풀지 말고, 계산이 가능한 가장 작은 단위부터 순서대로 처리하며 매 단계 검산한다.
• 함수의 정의역에서 제외된 점이라도 그 점으로 다가가는 극한값은 따로 존재할 수 있다 — 정의역과 극한은 별개의 질문이다.
• 미분계수의 정의(극한을 이용한 정의)와 미분 공식은 같은 값을 내야 하며, 서로를 검산 도구로 쓸 수 있다.
• $f'(x)=0$은 극값의 후보일 뿐이고, 앞뒤 부호 변화를 확인해야 극대·극소가 확정된다.

마무리 복습

참고 자료

• 고등학교 미적분 공식·개념 정리 
• 독학학위제 출제유형·평가영역 안내