지난 편 복습과 이번 편의 목표

15편에서 정적분을 넓이의 극한으로 정의하고, 미적분학의 기본정리로 부정적분을 이용해 정적분을 계산하는 법, 그리고 치환적분을 배웠다. 하지만 15편의 마지막에서 짚었듯, 정적분 값이 항상 넓이와 같지는 않다. 함수가 $x$축 아래로 내려가는 구간에서는 정적분 값이 음수가 되기 때문이다. 이번 편은 (1) 정적분을 실수 없이 계산하는 표준 절차, (2) 넓이를 구할 때 부호와 구간을 정확히 나누는 판단 기준, (3) 두 곡선 사이의 넓이 계산, (4) 정적분 값을 그래프의 평균값·부호로 해석하는 법을 다룬다.

정적분 계산 절차

쉽게 말하면: 정적분은 “부정적분 구하기 → 위끝 대입 → 아래끝 대입 → 빼기”의 네 단계를 순서대로 밟으면 실수 없이 계산할 수 있다.

표준 절차

$\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$를 계산하자.

검산 — 반대 연산(미분)으로 원식을 확인한다. $F(x) = x^3-x^2+x$를 미분하면 $F'(x) = 3x^2-2x+1$이 되어, 처음 적분하려던 피적분함수와 정확히 일치한다. 원시함수 계산 자체가 맞았다는 것을 확인한 뒤에 상하한을 대입했으므로, 최종 값 $20$도 신뢰할 수 있다.

적분상수 $C$가 상쇄되는 이유. $F(x)+C$를 상하한에 대입하면 $\big[F(b)+C\big] - \big[F(a)+C\big] = F(b)-F(a)$가 되어 $C$가 자동으로 사라진다. 그래서 정적분을 계산할 때는 부정적분 단계에서 $C$를 아예 쓰지 않아도 된다.

부호와 구간을 나누는 판단 기준

쉽게 말하면: 정적분은 $x$축 위쪽 넓이는 더하고 아래쪽 넓이는 뺀 “부호 있는 넓이”다. 진짜 넓이(항상 양수)를 구하려면 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 잘라 각 조각을 양수로 바꾼 뒤 더해야 한다.

왜 구간을 나눠야 하는가

정적분의 정의(리만 합)를 다시 떠올려보자. $f(x) < 0$인 구간에서는 직사각형의 높이 $f(x_i)$ 자체가 음수이므로, 그 조각의 넓이 $f(x_i)\Delta x$도 음수로 더해진다. 즉 정적분은 $x$축 위쪽 부분은 양수로, 아래쪽 부분은 음수로 계산해 합산한 값이다. 이것을 “부호 있는 넓이(signed area)“라 부른다. 반면 우리가 일상적으로 말하는 “넓이”는 위든 아래든 상관없이 항상 양수로 세는 값이다. 이 둘을 구분하지 못하면 넓이 문제에서 반드시 틀린다.

구간을 나누는 절차

$f(x) = x^2 - 4$와 $x$축, $x=0$부터 $x=3$까지로 둘러싸인 영역의 넓이(정적분 값이 아니라 실제 넓이)를 구하자.

$[0,2]$ 구간에서 $f(x)<0$이므로 $-f(x) = 4-x^2$을 적분한다.

$[2,3]$ 구간에서 $f(x)>0$이므로 그대로 적분한다.

두 조각을 더한다.

대조: 구간을 나누지 않고 그냥 정적분만 계산하면 어떻게 되는가. 부호를 무시하고 $[0,3]$ 전체를 한 번에 적분하면

이 값 $-3$은 넓이가 아니라 “부호 있는 넓이”다. 실제로 $-3 = -\dfrac{16}{3} + \dfrac{7}{3} = -\dfrac{9}{3} = -3$으로, 아래쪽 조각을 음수로, 위쪽 조각을 양수로 그대로 더한 값과 정확히 일치한다. 즉 구간을 나눠 부호를 바로잡은 결과($\dfrac{23}{3}$)와 그냥 계산한 결과($-3$)가 서로 다른 것은 계산 실수가 아니라, “넓이”와 “부호 있는 정적분 값”이 원래 다른 개념이기 때문이다.

두 곡선 사이의 넓이

쉽게 말하면: 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 “위에 있는 함수 − 아래에 있는 함수”를 교점 사이 구간에서 적분한 값이다.

절차

$y = x+2$(직선)와 $y=x^2$(포물선)으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하자.

피적분함수를 정리하면 $-x^2+x+2$이고, 원시함수는 $-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x$다.

위끝 $x=2$를 대입한다.

아래끝 $x=-1$을 대입한다.

두 값을 뺀다.

따라서 넓이는 $\dfrac{9}{2}$다.

검산 — 다른 방법(공식화된 지름길)으로 재계산. 두 곡선의 차 $(x+2)-x^2 = -(x^2-x-2) = -(x-2)(x+1)$처럼, 위끝 $b$와 아래끝 $a$를 근으로 갖는 ”$-($ x−a $)($ x−b $)$” 꼴로 정리되는 경우, 이 구간의 정적분은 항상 $\dfrac{(b-a)^3}{6}$이라는 지름길 공식이 성립한다. 여기서는 $a=-1$, $b=2$이므로 $b-a=3$이고,

앞서 상하한을 직접 대입해 구한 값과 정확히 일치한다.

그래프와 적분 값의 관계: 평균값과 부호 해석

쉽게 말하면: 정적분을 구간의 길이로 나누면 그 구간에서 함수의 “평균 높이”가 나온다.

정적분의 평균값 정리 (mean value theorem for integrals)

$f(x)$가 구간 $[a,b]$에서 연속이면, 다음을 만족하는 $c$가 그 구간 안에 적어도 하나 존재한다.

• 우변 $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: 구간 $[a,b]$에서 $f$의 평균값. 정적분(부호 있는 넓이)을 구간의 폭으로 나눈 값이다.
• $c$: 그 평균값과 정확히 같은 함숫값을 갖는, 구간 안의 어떤 특정한 $x$값

비유: 자동차로 $[a,b]$의 거리를 이동하는 동안 순간속도가 계속 바뀌었더라도, 이동 시간 동안 어느 한 순간에는 반드시 “평균속도”와 똑같은 순간속도를 냈던 때가 있다는 것과 같은 이야기다. 이 비유에서 순간속도가 $f(x)$, 평균속도가 정적분을 구간 길이로 나눈 값에 해당한다.

계산 예시

$f(x) = x^2$의 구간 $[0,3]$에서의 평균값과, 그 평균값을 실제로 갖는 $c$를 구하자.

평균값은 정적분을 구간 길이 $3-0=3$으로 나눈 값이다.

이제 $f(c) = c^2 = 3$을 만족하는 $c$를 구간 $[0,3]$ 안에서 찾는다.

$\sqrt{3}\approx1.732$는 구간 $[0,3]$ 안에 있으므로, 이 $c$가 정적분의 평균값 정리가 보장하는 값이다.

결과 해석. $[0,2.5]$ 부근에서는 $f(x)=x^2$이 평균값 $3$보다 작은 구간이 더 넓고, $[2.5,3]$ 근처에서는 $f(x)$가 평균값보다 훨씬 크게 튀어 오른다. 이 “부족한 부분”과 “초과한 부분”이 정확히 상쇄되는 지점이 $c=\sqrt3$이며, 그 앞뒤로 그래프가 평균값보다 낮았다가 높아지는 구조를 갖는다.

부호 해석: 정적분 값의 의미 읽기

이 표를 앞서 계산한 $\displaystyle\int_0^3 (x^2-4)\,dx = -3$에 적용해 보면, 값이 음수라는 것은 $[0,2]$에서 $x$축 아래로 내려간 부분($\frac{16}{3}$)이 $[2,3]$에서 위로 올라온 부분($\frac{7}{3}$)보다 크다는 뜻으로 해석된다. 실제로 $\frac{16}{3} > \frac{7}{3}$이므로 이 해석은 계산 결과와 정확히 들어맞는다.

자주 틀리는 점

• 넓이를 구할 때 근을 찾지 않고 구간 전체를 한 번에 적분한다. 함수가 구간 안에서 부호를 바꾸면 결과는 “부호 있는 넓이”이지 실제 넓이가 아니다. 반드시 $f(x)=0$이 되는 지점을 먼저 찾아 구간을 나눠야 한다.
• 두 곡선 사이 넓이에서 “위 함수 − 아래 함수”를 반대로 뺀다. 교점 사이의 대표값으로 어느 함수가 위에 있는지 먼저 확인하지 않고 무작정 빼면 넓이가 음수로 나오거나 부호가 반대로 나온다. 넓이는 항상 (위 함수) − (아래 함수)로 계산해 양수가 나오도록 한다.
• 정적분의 평균값 정리에서 구한 $c$가 구간 밖으로 나온 것을 알아채지 못한다. 방정식을 풀면 여러 해가 나올 수 있는데, 그중 구간 $[a,b]$ 안에 있는 해만 답으로 채택해야 한다.
• 상하한 대입 순서를 거꾸로 한다. $F(b)-F(a)$이지 $F(a)-F(b)$가 아니다. 부호가 뒤바뀌면 넓이나 정적분 값이 반대 부호로 나온다.
• 교점 계산에서 이차방정식을 인수분해할 때 부호를 잘못 처리한다. $(x-2)(x+1)=0$을 풀 때 근을 $x=-2, 1$처럼 부호를 반대로 적는 실수가 흔하다. 인수분해한 식에 근을 다시 대입해 $0$이 되는지 검산하는 습관을 들인다.

핵심 정리

• 정적분 계산은 (1) 부정적분 구하기 → (2) 위끝 대입 → (3) 아래끝 대입 → (4) 빼기의 절차로 통일하고, 결과를 미분해 원식으로 돌아오는지 검산한다.
• 정적분은 “부호 있는 넓이”이므로, 실제 넓이를 구하려면 $f(x)=0$이 되는 지점을 기준으로 구간을 나누고 음수 구간은 절댓값 처리 후 더한다.
• 두 곡선 사이 넓이는 교점을 구하고, 그 사이에서 위 함수에서 아래 함수를 뺀 것을 적분한다.
• 정적분의 평균값 정리는 정적분 값을 구간 길이로 나누면 그 함수의 평균값이 되고, 그 평균값과 같은 함숫값을 갖는 지점이 구간 안에 존재함을 보장한다.
• 정적분 값의 부호는 $x$축 위쪽과 아래쪽 넓이 중 어느 쪽이 더 큰지를 나타낸다.

마무리 복습

참고 자료

• 수학 공식 자료: 고등학교 미적분 정적분·넓이 공식  — 정적분 계산 절차, 두 곡선 사이 넓이 공식, 부호 있는 넓이 개념을 재구성하는 데 참고
• 미적분 I 교재 요약: 미분·적분 핵심 개념  — 정적분의 평균값 정리와 그래프 해석 개념 확인에 참고