왜 표기 관습부터 정리하는가

01편에서 논리함수 $F(A, B, C)$라는 틀을 배웠지만, 그 틀 안에서 A와 B를 실제로 어떻게 조합하는지는 아직 다루지 않았습니다. 09편부터는 불 대수(Boolean algebra)의 법칙(교환·결합·분배·드모르간 등)을 본격적으로 다루는데, 그 법칙들은 모두 이 편에서 소개하는 AND·OR·NOT이라는 세 가지 기본 연산과 그 표기법을 전제로 합니다. 표기 자체를 낯설어하면 법칙의 내용은 이해해도 식을 못 읽어서 틀리는 경우가 많으므로, 이 편에서 표기 관습만 확실히 다지고 넘어갑니다.

쉽게 말하면: 이 편은 “논리회로의 사칙연산 기호”를 익히는 시간입니다. 뒤에서 나올 모든 논리식은 이 세 가지 연산의 조합일 뿐입니다.

1. 불 변수와 논리값 — 0과 1만 갖는 변수

불 변수(Boolean variable)는 논리값의 집합 $\{0, 1\}$(01편 참고) 안에서만 값을 갖는 변수입니다. 이름을 지은 사람은 19세기 영국의 수학자 조지 불(George Boole)이며, 그의 이름을 따서 참·거짓만 다루는 대수 체계를 불 대수라 부릅니다.

불 변수가 십진수 변수와 결정적으로 다른 점은 “덧셈·곱셈이 숫자 크기를 뜻하지 않는다”는 것입니다. 불 대수의 연산은 크기를 계산하는 것이 아니라 “참·거짓의 조합에 따라 참·거짓을 결정하는 규칙”입니다. 이 차이를 처음부터 분명히 해 두지 않으면, 뒤에 나올 $1 + 1 = 1$ 같은 식(09편에서 다룸)을 보고 “덧셈이 틀렸다”고 오해하게 됩니다.

쉽게 말하면: 불 변수는 “예/아니오만 답할 수 있는 스위치”입니다. 이 스위치들을 조합하는 규칙이 이번 편의 주제입니다.

2. 세 가지 기본 연산 — AND, OR, NOT

불 대수의 모든 논리식은 다음 세 가지 기본 연산의 조합으로 만들어집니다.

AND (논리곱)

AND(논리곱, 논리 그리고)는 두 입력이 모두 1일 때만 결과가 1이 되는 연산입니다. “A 그리고 B”라는 의미를 그대로 옮긴 것입니다.

표기 방법은 여러 가지가 함께 쓰입니다.

• $A \cdot B$ (가운뎃점, 곱셈 기호와 비슷하게 표기)
• $AB$ (점을 생략하고 붙여 쓰기 — 이후 편에서 가장 많이 쓰이는 표기)
• A AND B (풀어서 쓰는 표기, 문제 지문에서 자주 사용)

쉽게 말하면: AND는 “두 조건을 모두 만족해야 통과”입니다. 문을 열려면 열쇠도 있어야 하고 비밀번호도 맞아야 하는 것과 같습니다.

OR (논리합)

OR(논리합, 논리 또는)는 두 입력 중 적어도 하나가 1이면 결과가 1이 되는 연산입니다.

표기는 $A + B$처럼 덧셈 기호를 그대로 씁니다. 여기서 +는 십진수의 덧셈이 아니라 논리합을 뜻한다는 점이 중요합니다. 실제로 $1 + 1$을 논리합으로 계산하면 결과는 2가 아니라 1입니다(입력 중 적어도 하나가 1이면 결과는 1이므로). 이 부분은 09편의 불 대수 법칙에서 다시 정확히 다룹니다.

쉽게 말하면: OR는 “둘 중 하나만 만족해도 통과”입니다. 우산을 들고 나가려면 비가 오거나 눈이 오거나, 둘 중 하나만 해당해도 되는 것과 같습니다.

NOT (논리부정)

NOT(논리부정)은 입력값을 뒤집는 연산으로, 입력이 하나뿐인 유일한 기본 연산입니다.

표기는 01편에서 미리 본 오버라인을 사용합니다.

읽는 법은 “A 바” 또는 “A 낫(not)“이며, $A'$처럼 어깨에 프라임(‘)을 붙여 표기하기도 합니다. 두 표기는 완전히 같은 뜻이고, 시험 지문에 따라 둘 중 하나가 섞여 나올 수 있으므로 둘 다 익혀 둡니다.

쉽게 말하면: NOT은 “정반대로 바꾸는 스위치”입니다. 불이 켜져 있으면 끄고, 꺼져 있으면 켜는 스위치라고 생각하면 됩니다.

3. 합과 곱 표기 — 여러 변수를 묶어 쓰는 방법

변수가 여러 개일 때도 표기 규칙은 그대로 확장됩니다.

• 곱(product): 여러 변수를 AND로 묶은 것. $ABC$는 “A와 B와 C가 모두 1일 때만 1”이라는 뜻이며, 각 변수(또는 그 부정)를 리터럴(literal)이라 부릅니다. $ABC$는 리터럴 3개로 이루어진 곱항입니다.
• 합(sum): 여러 변수를 OR로 묶은 것. $A + B + C$는 “A, B, C 중 하나라도 1이면 1”이라는 뜻입니다.
• 혼합식: 곱과 합을 섞어 쓸 수도 있습니다. 예를 들어 $F = AB + \overline{A}C$는 “A와 B가 모두 1이거나, A가 0이면서 C가 1인 경우에 F가 1”이라는 뜻입니다.

여기서 곱을 부정과 함께 쓸 때는 오버라인의 범위를 정확히 구분해야 합니다.

두 표기는 오버라인이 어디까지 걸리는지에 따라 완전히 다른 의미가 됩니다. $\overline{A}B$는 A가 0이고 B가 1일 때만 1이 되지만, $\overline{AB}$는 A와 B가 동시에 1인 경우를 제외한 나머지 모든 경우에 1이 됩니다. 이 둘을 서로 바꿔 계산하는 관계(드모르간 법칙)는 09편에서 다룹니다.

쉽게 말하면: 오버라인은 밑줄 친 우산과 같아서, 우산이 덮고 있는 글자까지만 부정이 적용됩니다. 우산이 A 하나만 덮고 있는지, AB 전체를 덮고 있는지 그림을 그리듯 확인하는 습관을 들여야 합니다.

자주 틀리는 점: $\overline{A}B$와 $\overline{AB}$를 같은 식으로 오인하는 것은 시험에서 매우 자주 나오는 함정입니다. 논리식을 읽을 때는 항상 오버라인이 시작하는 지점과 끝나는 지점을 손가락으로 짚어 확인하는 습관이 필요합니다.

4. 진리표 읽는 법 — 표기에서 표로, 표에서 표기로

진리표(truth table)는 입력 변수의 모든 조합에 대해 논리식(또는 논리회로)의 출력값을 나열한 표입니다. 01편에서 본 것처럼 변수가 n개이면 행의 수는 $2^n$개입니다.

진리표를 채우는 관습적인 순서는 다음과 같습니다.

1. 변수 개수를 세어 행의 개수($2^n$)를 정한다.
2. 입력 조합을 2진수가 0부터 커지는 순서로 나열한다(예: 변수가 A, B 두 개면 00, 01, 10, 11 순서).
3. 각 행의 입력값을 논리식에 대입해 출력값을 계산한다.

예를 들어 $F = AB + \overline{A}C$라는 식의 진리표 일부를 만들어 보면(변수는 A, B, C 세 개, 행은 $2^3 = 8$개), 그 중 몇 행은 다음과 같습니다.

셋째 열까지가 입력 조합이고, 넷째·다섯째 열은 계산을 돕는 중간 결과(AB, A바C 각각의 값)이며, 마지막 열이 최종 출력 F입니다. 이렇게 중간 결과를 열로 나눠 채우는 습관은 복잡한 논리식일수록 실수를 줄여 주며, 11편 카르노맵의 재료가 되는 표도 결국 이 진리표에서 출발합니다.

거꾸로, 진리표가 먼저 주어지고 그로부터 논리식을 뽑아내는 방법(출력이 1인 행만 모아 곱항을 만들고 그 곱항들을 OR로 연결하는 방법)은 10편의 표준형(SOP, Sum of Products)에서 정식으로 다룹니다. 여기서는 “진리표와 논리식은 서로 오갈 수 있는 같은 정보의 두 표현”이라는 사실만 기억해 둡니다.

쉽게 말하면: 논리식은 “규칙을 문장으로 적은 것”이고, 진리표는 “그 규칙을 모든 경우에 대해 미리 계산해 둔 결과표”입니다. 둘은 같은 내용을 다른 방식으로 보여줄 뿐입니다.

핵심 정리

• 불 변수는 $\{0, 1\}$ 안에서만 값을 갖는 변수이며, 불 대수는 참·거짓의 조합 규칙을 다루는 체계다.
• AND($A \cdot B$ 또는 $AB$)는 모두 1일 때만 1, OR($A + B$)는 하나라도 1이면 1, NOT($\overline{A}$ 또는 $A'$)은 값을 뒤집는 연산이다.
• 곱(리터럴들의 AND)과 합(리터럴들의 OR)을 섞어 논리식을 만들며, 오버라인이 어디까지 걸리는지에 따라 $\overline{A}B$와 $\overline{AB}$는 서로 다른 식이 된다.
• 진리표는 변수 n개에 대해 $2^n$개의 행을 갖고, 논리식과 진리표는 서로 변환 가능한 같은 정보의 두 표현이다.

마무리 복습

참고 자료

• 국가평생교육진흥원 독학학위제