왜 이 편이 필요한가

응용수리 유형(10~14편)에서 실제로 시간을 잡아먹는 지점은 계산 자체가 아니라 문장을 식으로 바꾸는 첫 단계입니다. 계산기 없이 손으로 계산해야 하므로 공식과 절차가 몸에 배어 있지 않으면, 식은 세웠는데 계산에서 막히거나 반대로 계산 실수 없이도 식 자체를 잘못 세우는 일이 자주 벌어집니다. 이 편은 이후 모든 응용수리 편에서 당연하다는 듯이 쓰일 세 가지 도구, 비율·백분율·농도의 관계, 방정식·부등식을 세우는 절차, 순열·조합의 기호와 계산법을 미리 정비해 둡니다.

비율·백분율·농도의 관계

비율과 백분율은 같은 구조다

비율(ratio)은 두 양을 나눈 값으로, “전체 중 어느 정도인가”를 나타냅니다. 학급 30명 중 18명이 여학생이면 여학생의 비율은 다음과 같습니다.

백분율(percentage, 퍼센트)은 이 비율에 100을 곱해 “100명 중 몇 명꼴인가”로 바꾼 값입니다. 어원 그대로 퍼센트(percent)는 라틴어로 “100에 대하여”라는 뜻입니다.

쉽게 말하면: 비율은 “전체를 1로 봤을 때의 몫”, 백분율은 “전체를 100으로 봤을 때의 몫”입니다. 숫자만 다를 뿐 같은 정보를 담고 있습니다.

자주 틀리는 점: “작년 대비 20퍼센트 증가”와 “20퍼센트포인트 증가”는 다른 말입니다. 20퍼센트 증가는 원래 값에 0.2를 곱해 더한다는 뜻이고, 20퍼센트포인트 증가는 두 백분율 값의 차이 자체가 20이라는 뜻입니다. 지지율이 30퍼센트에서 50퍼센트가 되었다면 이는 20퍼센트포인트 증가이지, 20퍼센트 증가(계산하면 36퍼센트가 되어야 함)가 아닙니다. 이 구분은 13편(자료해석 심화)에서 다시 등장합니다.

농도 — 비율에 상황을 입힌 것

농도(concentration)는 전체 용액 중에서 실제로 녹아 있는 물질(용질)이 차지하는 비율을 백분율로 나타낸 값입니다.

• 용질: 물에 녹아 있는 물질(소금물 문제라면 소금)
• 용액: 용질이 녹아 있는 전체(소금물 문제라면 소금물 전체, 즉 소금과 물을 합친 양)

이 식을 거꾸로 풀면 용질의 양을 구하는 식이 나오고, 응용수리 문장제에서는 이 변형된 식을 훨씬 더 자주 씁니다.

손계산. 농도 8퍼센트인 소금물 200그램에 들어 있는 소금의 양을 구해 봅시다.

해석: 소금물 200그램 중 16그램이 순수한 소금이고, 나머지 184그램은 물입니다.

두 소금물을 섞을 때 — 치명적인 함정: 농도 4퍼센트인 소금물 100그램과 농도 10퍼센트인 소금물 100그램을 섞으면 농도가 몇 퍼센트가 될까요? “두 농도를 평균 내서 7퍼센트”라고 답하면 함정에 걸린 것입니다. 농도는 비율이므로 그냥 평균 내면 안 되고, 반드시 각 소금물의 소금의 양을 먼저 구해 더한 뒤, 그 합을 전체 소금물의 양으로 다시 나눠야 합니다.

이 경우는 두 소금물의 양이 같아서 우연히 단순 평균과 결과가 같았을 뿐입니다. 두 소금물의 양이 다르면 단순 평균과 실제 값이 크게 어긋나므로, 소금의 양을 거쳐 계산한다는 절차 자체를 외워 둬야 합니다.

방정식·부등식 세우는 법

문장을 식으로 바꾸는 절차

문장제에서 가장 먼저 할 일은 구하려는 값을 미지수로 놓는 것입니다. 이후 절차는 다음과 같습니다.

예시 — 나이 문제. “현재 아버지 나이는 아들 나이의 3배이고, 10년 후에는 아버지 나이가 아들 나이의 2배가 된다. 현재 아들의 나이는?” 아들의 현재 나이를 $x$로 놓으면 아버지의 현재 나이는 $3x$입니다. 10년 후 아들은 $x+10$, 아버지는 $3x+10$이 되고, 이때 아버지가 아들의 2배라는 조건을 식으로 세웁니다.

이를 풀면 $3x + 10 = 2x + 20$이 되고, 다시 정리하면 다음과 같습니다.

해석: 현재 아들은 10살, 아버지는 30살입니다. 10년 후에는 아들 20살, 아버지 40살이 되어 정확히 2배 관계가 성립합니다.

부등식 — 범위를 나타내는 식

문제에 ”~ 이상”, ”~ 이하”, “~보다 크다(초과)”, “~보다 작다(미만)“라는 표현이 나오면 등식이 아니라 부등식(inequality)을 세워야 합니다.

자주 틀리는 점 — “이상·이하”와 “초과·미만”의 경계 포함 여부. “정원이 30명 이하”라면 정확히 30명도 가능하지만, “정원이 30명 미만”이라면 30명은 안 되고 최대 29명까지만 가능합니다. 이 경계값 하나 때문에 정답이 갈리는 문제가 많으므로 지문의 단어를 정확히 읽어야 합니다.

부등식을 풀 때 방향이 바뀌는 경우 — 함정 지점: 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 반드시 뒤집힙니다. $-2x < 6$을 풀 때 양변을 $-2$로 나누면 $x > -3$이 되어야지, 부등호 방향을 그대로 둔 $x < -3$은 틀린 답입니다. 등식에는 없는, 부등식만의 규칙이므로 계산 막바지에 음수를 곱하고 방향을 안 바꾸는 실수가 흔합니다.

순열·조합 기호와 팩토리얼

팩토리얼 — 순서를 전부 나열하는 곱

팩토리얼(factorial, 기호 $!$)은 1부터 어떤 자연수 $n$까지의 모든 정수를 차례로 곱한 값입니다.

손계산. $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$입니다. 팩토리얼은 $n$이 커질수록 매우 빠르게 커집니다.

약속 — 0의 팩토리얼: $0! = 1$로 약속합니다. “곱할 대상이 없다”는 뜻에서 자연스럽게 0이 되어야 할 것 같지만, 아무것도 곱하지 않은 상태를 수학에서는 곱셈의 항등원인 1로 둡니다. 이 약속은 뒤에 나오는 순열·조합 공식이 경계 상황(고를 대상을 0개 고르는 경우 등)에서도 깨지지 않고 성립하게 해 줍니다.

순열 — 순서가 다르면 다른 경우

순열(permutation, 기호 $_{n}P_{r}$)은 서로 다른 $n$개 중에서 $r$개를 골라 순서를 구분해서 줄 세우는 경우의 수입니다.

• $n$: 전체 대상의 개수
• $r$: 그중 뽑아서 순서를 정할 개수

손계산. 5명 중 3명을 뽑아 1등, 2등, 3등을 정하는 경우의 수는 다음과 같습니다.

해석: 같은 세 명이 뽑혀도 등수가 다르게 배정되면 서로 다른 경우로 셉니다. “누가 뽑혔는가”뿐 아니라 “누가 몇 등인가”까지 구분하는 것이 순열의 핵심입니다.

조합 — 순서를 구분하지 않는 경우

조합(combination, 기호 $_{n}C_{r}$)은 서로 다른 $n$개 중에서 $r$개를 고르되 순서를 구분하지 않는 경우의 수입니다.

손계산. 5명 중 등수 없이 대표 3명을 뽑는 경우의 수는 다음과 같습니다.

순열과 조합의 관계: 조합 공식은 순열 공식을 뽑힌 $r$명을 줄 세우는 경우의 수인 $r!$로 한 번 더 나눈 것뿐입니다. 순열로 구한 60가지 중에서, 같은 세 사람이라도 등수만 다른 경우($3! = 6$가지)를 하나로 묶으면 $60 \div 6 = 10$이 되어 조합의 결과와 정확히 일치합니다.

순열인지 조합인지 구분하는 법

판정 요령: “회장 1명, 부회장 1명을 뽑는다”처럼 역할이 서로 다르면 뽑힌 두 사람의 자리를 바꾸면 다른 경우가 되므로 순열입니다. 반면 “회장단 2명을 뽑는다”처럼 역할 구분이 없으면 순열이 아니라 조합입니다. 같은 사람 두 명을 뽑더라도 역할이 있는지 없는지가 기준이지, 사람 수나 상황의 겉모습이 기준이 아닙니다.

핵심 정리

• 비율은 전체를 1로, 백분율은 전체를 100으로 놓은 같은 개념이며, “퍼센트 증가”와 “퍼센트포인트 증가”는 다른 말이다.
• 농도는 (용질의 양 ÷ 용액의 양) × 100이며, 소금물을 섞을 때는 농도를 바로 평균 내지 말고 반드시 소금의 양을 먼저 구해 더한 뒤 다시 나눠야 한다.
• 문장제는 미지수 설정 → 다른 값을 미지수로 표현 → 등식·부등식 세우기 → 검산 순서로 접근한다.
• 이상·이하는 경계값을 포함하고, 초과·미만은 경계값을 포함하지 않는다.
• 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 뒤집힌다.
• $0! = 1$로 약속하며, 순열 $_{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}$은 순서를 구분하고 조합 $_{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$은 순서를 구분하지 않는다.
• 뽑힌 대상에 역할·순서 구분이 있으면 순열, 없으면 조합이다.

마무리 복습

참고 자료

• 나무위키 - 순열 
• 나무위키 - 조합 
• 나무위키 - 농도 문제