이 편을 이렇게 쓰세요

이 편은 05편부터 11편까지 배운 내용을 시험 문제 형태로 다시 만나는 자리다. 개념을 처음 배우는 자리가 아니라, 이미 배운 개념이 문제 속에서 어떻게 위장되는지를 확인하는 자리라는 점이 중요하다.

쉽게 말하면: 먼저 스스로 풀고 채점한 다음, 맞은 문제든 틀린 문제든 해설의 오답 이유까지 전부 읽어라. 오답 보기 하나하나가 실수의 유형을 보여준다.

각 영역 앞에 “이 유형은 이렇게 접근한다”는 짧은 소절을 두었다. 문제를 풀기 전에 먼저 읽고, 그 접근법을 손으로 직접 적용해 보는 순서를 권한다. 계산 문항은 반드시 손으로 끝까지 계산해야 하며, 눈으로만 공식을 확인하고 넘어가면 실전에서 막힌다.

1. 자료의 정리·요약 문제 유형

이 유형은 이렇게 접근한다

자료 정리·요약 문항은 크게 세 가지로 나뉜다. 첫째는 도수분포표에서 상대도수·누적도수를 계산하는 문항, 둘째는 그래프·그림의 특징을 개념적으로 구분하는 문항, 셋째는 누적도수를 이용해 중앙값이 속한 계급을 역으로 추론하는 문항이다.

상대도수를 구할 때 가장 흔한 실수는 “이상”과 “미만”의 경계를 잘못 읽는 것이다. 예를 들어 “80점 이상”이라고 했는데 특정 계급 하나만 세고 그 위 계급을 빠뜨리는 식이다. 문제를 풀 때는 반드시 어느 계급부터 어느 계급까지를 더해야 하는지 손가락으로 짚어 가며 확인해야 한다.

• 상대도수 = 해당 계급의 도수 ÷ 전체 자료 개수
• 누적도수는 가장 작은 계급부터 해당 계급까지 도수를 순서대로 더한 값이다.
• 중앙값의 위치는 전체 자료 개수가 $n$일 때 $n$이 짝수면 $n/2$번째와 $(n/2+1)$번째 값의 평균, 홀수면 $(n+1)/2$번째 값이다.

2. 중심경향·산포 문제 유형

이 유형은 이렇게 접근한다

이 영역에서 가장 많이 나오는 함정은 두 가지다. 첫째는 표본분산을 구할 때 $n$으로 나누는 실수다. 표본에서 계산한 분산(표본분산)은 반드시 자유도인 $n-1$로 나누어야 하며, $n$으로 나누면 모분산 공식이 되어 값이 실제보다 작게 나온다. 둘째는 표준편차와 표준오차를 혼동하는 실수다. 표준편차는 자료 하나하나가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 나타내고, 표준오차는 표본평균이라는 통계량 자체가 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값으로, 표준편차를 표본크기의 제곱근으로 나눈 것이다.

• 표본분산 $s^2$ = 편차제곱합 ÷ $(n-1)$
• 표준편차 $s$ = 표본분산의 제곱근
• 표준오차 = 표준편차 ÷ 표본크기의 제곱근
• 변동계수(CV) = 표준편차 ÷ 평균. 평균의 크기가 다른 두 집단의 산포를 비교할 때 쓴다.

3. 확률·조건부확률·베이즈 문제 유형

이 유형은 이렇게 접근한다

확률 문항에서 가장 조심해야 할 것은 조건부확률의 방향이다. $P(A|B)$는 “B가 일어났다는 조건에서 A가 일어날 확률”이므로 분모는 항상 조건이 되는 사건(B)의 확률이다. 이 방향을 반대로 계산하면(분모와 분자를 바꾸거나, $P(A|B)$ 대신 $P(B|A)$를 계산하면) 답이 완전히 달라진다. 베이즈 정리 문항은 특히 이 방향 실수가 잦으므로, 문제를 풀기 전에 “지금 구하는 것이 무엇을 조건으로 하는 확률인가”를 먼저 문장으로 적어 두는 습관이 중요하다.

• 여사건의 확률: $P(A^c) = 1 - P(A)$
• 조건부확률: $P(A|B) = P(A \cap B) \div P(B)$
• 독립 판정: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$가 성립하면 독립이다.
• 전확률의 법칙: 원인이 여러 갈래로 나뉠 때, 각 갈래의 확률과 그 갈래에서의 조건부확률을 곱해서 모두 더하면 전체 확률이 된다.
• 베이즈 정리: $P(원인|결과) = P(원인) \times P(결과|원인) \div P(결과)$

4. 이항·포아송·정규분포 문제 유형

이 유형은 이렇게 접근한다

분포 문항은 먼저 어떤 상황에 어떤 분포를 쓰는지를 판단하는 것이 절반이다. 성공·실패처럼 결과가 두 가지뿐인 시행을 정해진 횟수만큼 반복하면 이항분포, 정해진 시간·공간 안에서 드물게 일어나는 사건의 개수를 세면 포아송분포, 연속적으로 변하는 양을 다루면 정규분포를 쓴다. 정규분포 문항에서는 항상 표준화(z 변환)를 거쳐 표준정규분포표의 값을 읽는 절차를 따른다.

• 이항분포의 기댓값과 분산: $E(X) = np$, $Var(X) = np(1-p)$
• 포아송분포의 확률: $P(X=k) = e^{-\lambda}\lambda^k \div k!$ (여기서 $\lambda$는 단위 시간·공간당 평균 발생 횟수)
• z 변환: $z = (x - \mu) \div \sigma$
• 이항분포의 정규근사: 평균 $np$, 표준편차는 $np(1-p)$의 제곱근

핵심 정리

• 자료 정리·요약 문제는 “이상·이하·미만”의 경계를 정확히 짚어야 하고, 누적도수로 중앙값의 위치를 역추적하는 문제 유형에 익숙해져야 한다.
• 중심경향·산포 계산에서는 표본분산을 반드시 n-1로 나누고, 표준편차와 표준오차(표준편차를 표본크기의 제곱근으로 나눈 값)를 구분해야 한다.
• 조건부확률과 베이즈 정리 문제는 “무엇을 조건으로 하는 확률인지”를 먼저 문장으로 확인한 뒤 공식에 대입해야 방향이 반대로 뒤집히는 실수를 막을 수 있다.
• 이항·포아송·정규분포는 상황(반복 시행의 성공 횟수인지, 드문 사건의 발생 횟수인지, 연속적인 양인지)에 따라 어떤 분포를 쓸지 먼저 판단한 뒤 공식을 적용해야 한다.
• 정규분포 확률 문제는 z 변환 후 표준정규분포표의 값이 “이하 확률”인지 “0부터 z까지의 넓이”인지 표의 관례를 확인하고 풀어야 한다.

참고 자료

• 국가평생교육진흥원 독학학위제 
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods